Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar uma solução particular da equação
Vamos precisar usar o método de coeficientes indeterminados, que é uma técnica da matéria de equações diferenciais para encontrar soluções específicas quando o lado direito é uma função conhecida, como funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação. Sabemos que
pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
Então, substituindo na equação:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução particular
para a equação:
Vamos dividir isso em duas partes: uma para a constante
e outra para
.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar a solução particular para a parte constante
. Assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular para a parte
. Assumimos que a solução tem a forma
, onde
e
são constantes a serem determinadas. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Simplificando mais:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, expressamos em termos de
:
Da segunda equação, expressamos
Substituindo na primeira equação:
Então,
Passo 7
Agora, temos a solução particular completa:
Resposta
A solução particular da equação é
Exercícios relacionados
Sabendo-se que
e
são soluções de uma equação diferencial ordinária linear e não homogênea de
ordem, determinar a solução geral desta equação, onde:
e
.
Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
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Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
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Encontrar a solução geral, usando o método da variação das constantes para determinar uma solução particular, de
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