Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
y''(t) - 2y'(t) + 5y(t) = 2(cos(t))^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar uma solução particular da equação
Vamos precisar usar o método de coeficientes indeterminados, que é uma técnica da matéria de equações diferenciais para encontrar soluções específicas quando o lado direito é uma função conhecida, como funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação. Sabemos que pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
Então, substituindo na equação:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução particular para a equação:
Vamos dividir isso em duas partes: uma para a constante e outra para .

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a solução particular para a parte constante . Assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular para a parte . Assumimos que a solução tem a forma , onde e são constantes a serem determinadas. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Simplificando mais:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, expressamos em termos de :
Substituindo na primeira equação:
Então,

Passo 7

Agora, temos a solução particular completa:

Resposta

A solução particular da equação é

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