Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para encontrar uma solução particular dessa equação, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Precisaremos também utilizar identidades trigonométricas para simplificar o lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos separar a equação em duas partes para facilitar:
Vamos encontrar soluções particulares para cada termo à direita.

Passo 4

Primeiro, consideremos a equação:
Como não é solução da equação homogênea associada , podemos assumir uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Portanto:

Passo 5

Agora, consideremos a segunda parte da equação:
Note que é solução da equação homogênea . Isso significa que há uma resonância, então precisamos multiplicar nossa suposição por para encontrar uma solução particular adequada. Assim, assumimos:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Simplificando, os termos com se cancelam:
Igualando os coeficientes:
Portanto:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
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Sabendo-se que e são soluções de uma equação diferencial ordinária linear e não homogênea de ordem, determinar a solução geral desta equação, onde:
e .
Encontrar a solução geral, usando o método da variação das constantes para determinar uma solução particular, de
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Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
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