Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para encontrar uma solução particular dessa equação, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Precisaremos também utilizar identidades trigonométricas para simplificar o lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo
usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos separar a equação em duas partes para facilitar:
Vamos encontrar soluções particulares para cada termo à direita.
Passo 4
Primeiro, consideremos a equação:
Como
não é solução da equação homogênea associada
, podemos assumir uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Portanto:
Passo 5
Agora, consideremos a segunda parte da equação:
Note que
é solução da equação homogênea
. Isso significa que há uma resonância, então precisamos multiplicar nossa suposição por
para encontrar uma solução particular adequada. Assim, assumimos:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Simplificando, os termos com
se cancelam:
Igualando os coeficientes:
Portanto:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.
Sabendo-se que
e
são soluções de uma equação diferencial ordinária linear e não homogênea de
ordem, determinar a solução geral desta equação, onde:
e
.
Encontrar a solução geral, usando o método da variação das constantes para determinar uma solução particular, de
.
Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
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