Sabendo-se que e são soluções de uma equação diferencial ordinária linear e não homogênea de ordem, determinar a solução geral desta equação, onde:
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de equações diferenciais ordinárias (EDOs) lineares não homogêneas de ordem . O problema nos dá três soluções particulares , e . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de uma EDO linear não homogênea é composta pela soma da solução geral da equação homogênea associada mais uma solução particular da não homogênea. Como temos três soluções particulares, precisamos verificar se elas são linearmente independentes.

Passo 3

Para verificar a independência linear, podemos montar uma matriz com as soluções e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, as soluções são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos construir a matriz com as soluções , e :
Como temos apenas uma linha, precisamos considerar as derivadas para formar o Wronskiano. Vamos calcular as primeiras derivadas de cada solução.

Passo 5

Calculando as derivadas:

Passo 6

Agora, montamos o Wronskiano :

Passo 7

Calculando o determinante do Wronskiano, se ele for diferente de zero, as soluções são linearmente independentes e formam a base da solução geral.

Passo 8

Após os cálculos, verificamos que o Wronskiano é diferente de zero, o que confirma que as soluções são linearmente independentes.

Passo 9

Sendo assim, a solução geral da EDO é uma combinação linear das soluções particulares:
Onde são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde são constantes reais.

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