Sabendo-se que e são soluções de uma equação diferencial ordinária linear e não homogênea de ordem, determinar a solução geral desta equação, onde: e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de equações diferenciais ordinárias (EDOs) lineares não homogêneas de ordem . O problema nos dá três soluções particulares , e . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de uma EDO linear não homogênea é composta pela soma da solução geral da equação homogênea associada mais uma solução particular da não homogênea. Como temos três soluções particulares, precisamos verificar se elas são linearmente independentes.
Passo 3
Para verificar a independência linear, podemos montar uma matriz com as soluções e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, as soluções são linearmente independentes.
Passo 4
Vamos construir a matriz com as soluções , e :
Como temos apenas uma linha, precisamos considerar as derivadas para formar o Wronskiano. Vamos calcular as primeiras derivadas de cada solução.
Passo 5
Calculando as derivadas:
Passo 6
Agora, montamos o Wronskiano :
Passo 7
Calculando o determinante do Wronskiano, se ele for diferente de zero, as soluções são linearmente independentes e formam a base da solução geral.
Passo 8
Após os cálculos, verificamos que o Wronskiano é diferente de zero, o que confirma que as soluções são linearmente independentes.
Passo 9
Sendo assim, a solução geral da EDO é uma combinação linear das soluções particulares: