Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada que seja linearmente independente (LI) da primeira solução fornecida. A equação que temos é:
E já temos uma solução:
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos básicos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método da redução de ordem. Quando já temos uma solução
de uma equação diferencial linear homogênea, podemos encontrar uma segunda solução
assumindo que ela tem a forma:
Onde
é uma função que precisamos determinar.
Passo 3
Vamos substituir
na equação diferencial original. Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Vamos simplificar isso:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Podemos dividir toda a equação por
(que nunca é zero):
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
. Vamos chamar
, então:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial linear simples que podemos resolver. A solução geral é:
Onde
é uma constante de integração. Agora, lembrando que
:
Passo 7
Integrando
para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração. Podemos absorver
na constante multiplicativa, já que
será solução da equação homogênea.
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão para
:
Podemos renomear a constante
como apenas uma nova constante
.
Resposta
Uma segunda solução linearmente independente da equação dada é:
Exercícios relacionados
(Equação de Euler) Encontre duas soluções linearmente independentes de
da forma
. Usando essas duas soluções, determine a solução geral de
.
Encontrar a solução geral, usando o método da variação das constantes para determinar uma solução particular, de
.
Sabendo-se que
e
são soluções de uma equação diferencial ordinária linear e não homogênea de
ordem, determinar a solução geral desta equação, onde:
e
.
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.