Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada que seja linearmente independente (LI) da primeira solução fornecida. A equação que temos é:
E já temos uma solução:
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos básicos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método da redução de ordem. Quando já temos uma solução de uma equação diferencial linear homogênea, podemos encontrar uma segunda solução assumindo que ela tem a forma:
Onde é uma função que precisamos determinar.

Passo 3

Vamos substituir na equação diferencial original. Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de .
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Vamos simplificar isso:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Podemos dividir toda a equação por (que nunca é zero):
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para . Vamos chamar , então:

Passo 6

Essa é uma equação diferencial linear simples que podemos resolver. A solução geral é:
Onde é uma constante de integração. Agora, lembrando que :

Passo 7

Integrando para encontrar :
Onde é outra constante de integração. Podemos absorver na constante multiplicativa, já que será solução da equação homogênea.

Passo 8

Agora, substituímos na expressão para :
Podemos renomear a constante como apenas uma nova constante .

Resposta

Uma segunda solução linearmente independente da equação dada é:

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.
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e .
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.