(Equação de Euler) Encontre duas soluções linearmente independentes de da forma . Usando essas duas soluções, determine a solução geral de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Euler juntos! A questão pede para encontrar duas soluções da equação diferencial na forma . Depois, com essas soluções, precisamos achar a solução geral da equação inhomogênea . Vamos precisar entender como resolver equações diferenciais de Euler e usar combinações lineares das soluções encontradas.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma . Isso é comum em equações de Euler porque elas têm coeficientes que são potências de .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Simplificando:
Fatorando :
Como , temos:

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores de :
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções para são:

Passo 6

Portanto, as duas soluções linearmente independentes são:

Passo 7

Agora, queremos encontrar a solução geral da equação inhomogênea:
A solução geral será a soma da solução geral da equação homogênea mais uma solução particular da inhomogênea:
Onde é uma solução particular.

Passo 8

Vamos supor que a solução particular tem a forma . Substituímos na equação para encontrar e .
Escolhemos porque o lado direito é e precisamos evitar que seja uma solução da homogênea.

Passo 9

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação:
Isso não nos ajuda, então precisamos tentar outra forma para .

Passo 10

Vamos tentar uma solução particular da forma .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então, e .

Passo 11

Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes arbitrárias.

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.
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.
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.
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e .