(Equação de Euler) Encontre duas soluções linearmente independentes de
da forma
. Usando essas duas soluções, determine a solução geral de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Euler juntos! A questão pede para encontrar duas soluções da equação diferencial
na forma
. Depois, com essas soluções, precisamos achar a solução geral da equação inhomogênea
. Vamos precisar entender como resolver equações diferenciais de Euler e usar combinações lineares das soluções encontradas.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma
. Isso é comum em equações de Euler porque elas têm coeficientes que são potências de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Fatorando
:
Como
, temos:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores de
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções para
são:
Passo 6
Portanto, as duas soluções linearmente independentes são:
Passo 7
Agora, queremos encontrar a solução geral da equação inhomogênea:
A solução geral será a soma da solução geral da equação homogênea mais uma solução particular da inhomogênea:
Onde
é uma solução particular.
Passo 8
Vamos supor que a solução particular tem a forma
. Substituímos na equação para encontrar
e
.
Escolhemos
porque o lado direito é
e precisamos evitar que
seja uma solução da homogênea.
Passo 9
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Isso não nos ajuda, então precisamos tentar outra forma para
.
Passo 10
Vamos tentar uma solução particular da forma
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então,
e
.
Passo 11
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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Encontrar a solução geral, usando o método da variação das constantes para determinar uma solução particular, de
.
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.
Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
.
Sabendo-se que
e
são soluções de uma equação diferencial ordinária linear e não homogênea de
ordem, determinar a solução geral desta equação, onde:
e
.