Encontrar a solução geral, usando o método da variação das constantes para determinar uma solução particular, de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem:
Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, vamos usar o método da variação das constantes, que nos ajuda a encontrar uma solução particular além da solução geral da equação homogênea associada. Vamos precisar:
- Resolver a equação homogênea
. - Encontrar uma solução particular para a equação completa
. - Somar as soluções para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), chegamos à equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são:
Passo 3
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, caso sejam fornecidas.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o termo do lado direito é
, assumimos uma solução particular da forma:
onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para o termo
:
Para o termo constante:
Passo 8
Agora que encontramos
e
, substituímos esses valores na nossa ansatz para a solução particular:
Passo 9
Finalmente, juntamos a solução geral da equação homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação completa:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
(Equação de Euler) Encontre duas soluções linearmente independentes de
da forma
. Usando essas duas soluções, determine a solução geral de
.
Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
.