Encontrar a solução geral, usando o método da variação das constantes para determinar uma solução particular, de
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem:
Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, vamos usar o método da variação das constantes, que nos ajuda a encontrar uma solução particular além da solução geral da equação homogênea associada. Vamos precisar:
  1. Resolver a equação homogênea .
  2. Encontrar uma solução particular para a equação completa .
  3. Somar as soluções para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), chegamos à equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são:

Passo 3

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, caso sejam fornecidas.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o termo do lado direito é , assumimos uma solução particular da forma:
onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Substituímos , e na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para o termo :
Para o termo constante:

Passo 8

Agora que encontramos e , substituímos esses valores na nossa ansatz para a solução particular:

Passo 9

Finalmente, juntamos a solução geral da equação homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação completa:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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