Determinar theta, sendo theta circ ângulo entre
A=(ccc 1 & 0 & -1 2 & 1 & 1 )
e
B=(lll 1 & -2 & 3 0 & -1 & 1 )
Use o produto interno: lang<= A, Brang<==tr(B^T cdot A).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo theta entre duas matrizes, A e B, usando o produto interno definido por lang<= A, Brang<= = tr(B^T cdot A). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como produto interno e norma de matrizes. Vamos precisar calcular o produto interno entre A e B, as normas de cada matriz e então aplicar a fórmula do cosseno do ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno lang<= A, Brang<=. Pelo enunciado, isso é igual à traça da multiplicação da transposta de B por A:
lang<= A, Brang<= = tr(B^T cdot A)
Vamos encontrar B^T:
B^T = (cc 1 & 0 -2 & -1 3 & 1 )
Agora, multiplicamos B^T por A:
B^T cdot A = (cc 1 & 0 -2 & -1 3 & 1 ) cdot (ccc 1 & 0 & -1 2 & 1 & 1 ) = (ccc (1)(1) + (0)(2) & (1)(0) + (0)(1) & (1)(-1) + (0)(1) (-2)(1) + (-1)(2) & (-2)(0) + (-1)(1) & (-2)(-1) + (-1)(1) (3)(1) + (1)(2) & (3)(0) + (1)(1) & (3)(-1) + (1)(1) )
Calculando cada elemento:
B^T cdot A = (ccc 1 + 0 & 0 + 0 & -1 + 0 -2 -2 & 0 -1 & 2 -1 3 + 2 & 0 + 1 & -3 +1 ) = (ccc 1 & 0 & -1 -4 & -1 & 1 5 & 1 & -2 )
A traça de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Então:
tr(B^T cdot A) = 1 + (-1) + (-2) = -2
Portanto, lang<= A, Brang<= = -2.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as normas das matrizes A e B. A norma de uma matriz, usando o produto interno que definimos, é:
|A| = raizlang<= A, Arang<= e |B| = raizlang<= B, Brang<=
Vamos primeiro calcular lang<= A, Arang<=:
lang<= A, Arang<= = tr(A^T cdot A)
Calculando A^T:
A^T = (cc 1 & 2 0 & 1 -1 & 1 )
Multiplicando A^T por A:
A^T cdot A = (cc 1 & 2 0 & 1 -1 & 1 ) cdot (ccc 1 & 0 & -1 2 & 1 & 1 ) = (ccc (1)(1)+(2)(2) & (1)(0)+(2)(1) & (1)(-1)+(2)(1) (0)(1)+(1)(2) & (0)(0)+(1)(1) & (0)(-1)+(1)(1) (-1)(1)+(1)(2) & (-1)(0)+(1)(1) & (-1)(-1)+(1)(1) )
Calculando cada elemento:
A^T cdot A = (ccc 1 + 4 & 0 + 2 & -1 + 2 0 + 2 & 0 + 1 & 0 + 1 -1 + 2 & 0 + 1 & 1 + 1 ) = (ccc 5 & 2 & 1 2 & 1 & 1 1 & 1 & 2 )
A traça é:
tr(A^T cdot A) = 5 + 1 + 2 = 8
Então, |A| = raiz8 = 2raiz2.
Agora, vamos calcular lang<= B, Brang<=:
lang<= B, Brang<= = tr(B^T cdot B)
Calculando B^T:
B^T = (cc 1 & 0 -2 & -1 3 & 1 )
Multiplicando B^T por B:
B^T cdot B = (cc 1 & 0 -2 & -1 3 & 1 ) cdot (ccc 1 & -2 & 3 0 & -1 & 1 ) = (ccc (1)(1)+(0)(0) & (1)(-2)+(0)(-1) & (1)(3)+(0)(1) (-2)(1)+(-1)(0) & (-2)(-2)+(-1)(-1) & (-2)(3)+(-1)(1) (3)(1)+(1)(0) & (3)(-2)+(1)(-1) & (3)(3)+(1)(1) )
Calculando cada elemento:
B^T cdot B = (ccc 1 + 0 & -2 + 0 & 3 + 0 -2 + 0 & 4 + 1 & -6 -1 3 + 0 & -6 -1 & 9 + 1 ) = (ccc 1 & -2 & 3 -2 & 5 & -7 3 & -7 & 10 )
A traça é:
tr(B^T cdot B) = 1 + 5 + 10 = 16
Então, |B| = raiz16 = 4.

Passo 4

Agora que temos o produto interno e as normas das matrizes, podemos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo entre elas:
cos(theta) = lang<= A, Brang<=|A| cdot |B|
Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = -22raiz2 cdot 4 = -28raiz2 = -14raiz2
Para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno:
theta = cos^-1(-14raiz2)

Resposta

O ângulo entre as matrizes A e B é theta = cos^-1(dfrac-14raiz2).

Exercícios relacionados