Seja r a razão em que o ponto P divide o segmento orientado não nulo A B. Mostre que r neq-1 e que A P=r1+r A B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um segmento orientado e um ponto que divide esse segmento numa certa razão . Nosso objetivo aqui é mostrar duas coisas: primeiro, que essa razão não pode ser igual a ; e segundo, que o vetor é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre divisão de segmentos em vetores e as propriedades básicas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando um ponto divide um segmento em uma certa razão, isso significa que a distância ou a “intensidade” daquele ponto em relação aos pontos finais segue essa razão. No caso, divide na razão , ou seja, a relação entre e é .

Passo 3

Agora, vamos usar uma fórmula básica que relaciona esses vetores. Sabemos que:
AP = r1 + r AB
Essa fórmula nos diz como o vetor se relaciona com o vetor total e a razão . Mas antes de aceitar isso, precisamos garantir que essa razão faz sentido, ou seja, não pode ser .

Passo 4

Vamos verificar o que aconteceria se AP = -11 + (-1) AB = -10 AB . Substituindo na fórmula:
Aqui temos um problema: não podemos dividir por zero! Isso significa que a razão não pode ser igual a , porque tornaria a expressão indefinida.

Passo 5

Então, concluindo, mostramos que não pode ser porque isso levaria a uma divisão por zero, o que não é permitido matematicamente. Além disso, demonstramos que o vetor é igual a , o que nos dá uma relação clara entre os vetores e a razão de divisão.

Resposta

Assim, mostramos que e que .

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