Determinar se a transformações seguintes são diagonalizáveis. Se for diagonalizável, determinar uma base na qual a matriz da tem forma diagonal e achar esta matriz. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por e precisa descobrir se ela é diagonalizável. Se for, vamos achar uma base onde a matriz dessa transformação fica toda na diagonal e também encontrar essa matriz diagonal. Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores e diagonalização.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da transformação . Os autovalores são valores que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.
Vamos construir a matriz de :
Agora, subtraímos da diagonal principal:
Calculamos o determinante:
Assim, os autovalores são:
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos verificar se a transformação é diagonalizável. Para isso, precisamos que o número de autovalores distintos seja igual à dimensão do espaço, que aqui é 3.
Como temos três autovalores distintos (), a transformação é diagonalizável. Isso porque cada autovalor terá pelo menos um autovetor linearmente independente associado a ele.
Passo 4
Vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Isso implica e . Assim, o autovetor é da forma . Podemos escolher .
Para :
Resolvemos ,
Da primeira equação, , e da terceira, . O autovetor é . Escolhemos .
Para :
Resolvemos ,
Da primeira equação, , e da segunda, . O autovetor é . Escolhemos .
Passo 5
Agora, temos uma base composta pelos autovetores D = 0 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 , e . Nessa base, a matriz da transformação será diagonal, pois cada autovetor corresponde a um eixo das coordenadas.
A matriz diagonal será:
Resposta
A transformação 0 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 é diagonalizável. Uma base na qual a matriz de é diagonal é , e a matriz diagonal correspondente é: