Determinar se a transformações seguintes são diagonalizáveis. Se for diagonalizável, determinar uma base na qual a matriz da T tem forma diagonal e achar esta matriz. T(x, y, z)=(0,3 y,-z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por e precisa descobrir se ela é diagonalizável. Se for, vamos achar uma base onde a matriz dessa transformação fica toda na diagonal e também encontrar essa matriz diagonal. Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores e diagonalização.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da transformação T = 0 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 . Os autovalores são valores T - lambda I = -lambda & 0 & 0 0 & 3 - lambda & 0 0 & 0 & -1 - lambda que satisfazem a equação det(T - lambda I) = (-lambda)(3 - lambda)(-1 - lambda) = 0 , onde lambda1 = 0, lambda2 = 3, lambda3 = -1 é a matriz identidade.
Vamos construir a matriz de :
Agora, subtraímos da diagonal principal:
Calculamos o determinante:
Assim, os autovalores são:

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos verificar se a transformação é diagonalizável. Para isso, precisamos que o número de autovalores distintos seja igual à dimensão do espaço, que aqui é 3.
Como temos três autovalores distintos ( ), a transformação é diagonalizável. Isso porque cada autovalor terá pelo menos um autovetor linearmente independente associado a ele.

Passo 4

Vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
  1. Para 0x = 0 3y = 0 -z = 0 :
    Resolvemos 0x = 3x 3y = 3y -z = 3z , ou seja,
    0x = -x 3y = -y -z = -z
    Isso implica e . Assim, o autovetor é da forma . Podemos escolher .
  2. Para :
    Resolvemos ,
    Da primeira equação, , e da terceira, . O autovetor é . Escolhemos .
  3. Para :
    Resolvemos ,
    Da primeira equação, , e da segunda, . O autovetor é . Escolhemos .

Passo 5

Agora, temos uma base composta pelos autovetores D = 0 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 , e . Nessa base, a matriz da transformação será diagonal, pois cada autovetor corresponde a um eixo das coordenadas.
A matriz diagonal será:

Resposta

A transformação 0 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 é diagonalizável. Uma base na qual a matriz de é diagonal é , e a matriz diagonal correspondente é:

Exercícios relacionados