Seja T: R^3 R^3 uma aplicação linear. Determinar bases de NucT e de Im T. T(x, y, z)=(3 x+y-z, 2 x+y, x-z);

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma aplicação linear definida por . Precisamos determinar bases para o Núcleo de (NucT) e para a Imagem de (Im T). Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, solução de sistemas homogêneos e determinação de espaços gerados por vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a base do Núcleo de 3x + y - z = 0 2x + y = 0 x - z = 0 . O núcleo de é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações lineares:

Passo 3

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da segunda equação: 3x + (-2x) - x = 0 Rightarrow 0 = 0 .
  2. Da terceira equação: .
  3. Substituindo e na primeira equação:
Isso confirma que as equações são consistentes e que podemos expressar as variáveis em termos de .

Passo 4

As soluções do sistema são:
x = x y = -2x z = x
Podemos parametrizar com (x, y, z) = t (1, -2, 1) , onde :
Portanto, o núcleo de é gerado pelo vetor .

Passo 5

Agora, vamos determinar uma base para a Imagem de A = 3 & 1 & -1 2 & 1 & 0 1 & 0 & -1 . A imagem de é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz associada a .
A matriz associada a é:

Passo 6

Para encontrar a Imagem de , precisamos identificar os vetores que geram todas as colunas de . Vamos verificar se as colunas são linearmente independentes através da redução por linhas.

Passo 7

Realizando a redução da matriz 3 & 1 & -1 2 & 1 & 0 1 & 0 & -1 :
1 & 13 & -13 2 & 1 & 0 1 & 0 & -1
  1. Dividimos a primeira linha por 3:
1 & 13 & -13 0 & 13 & 23 0 & -13 & -23
  1. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda e a primeira linha da terceira:
1 & 13 & -13 0 & 1 & 2 0 & -13 & -23
  1. Multiplicamos a segunda linha por 3:
1 & 13 & -13 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0
  1. Somamos da segunda linha à terceira linha:
A matriz está agora em forma escalonada, indicando que as duas primeiras colunas são pivôs e, portanto, linearmente independentes.

Passo 8

Como as duas primeiras colunas são linearmente independentes, uma base para a Imagem de 3 2 1 , 1 1 0 é formada pelos vetores correspondentes a essas colunas:

Resposta

Uma base para o Núcleo de é e uma base para a Imagem de é .

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