Seja uma aplicação linear. Determinar bases de NucT e de . ;
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma aplicação linear definida por . Precisamos determinar bases para o Núcleo de (NucT) e para a Imagem de (Im T). Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, solução de sistemas homogêneos e determinação de espaços gerados por vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a base do Núcleo de . O núcleo de é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações lineares:
Passo 3
Vamos resolver o sistema passo a passo:
Da segunda equação: 3x + (-2x) - x = 0 Rightarrow 0 = 0 .
Da terceira equação: .
Substituindo e na primeira equação:
Isso confirma que as equações são consistentes e que podemos expressar as variáveis em termos de .
Passo 4
As soluções do sistema são:
x = x y = -2x z = x
Podemos parametrizar com (x, y, z) = t (1, -2, 1) , onde :
Portanto, o núcleo de é gerado pelo vetor .
Passo 5
Agora, vamos determinar uma base para a Imagem de A = 3 & 1 & -1 2 & 1 & 0 1 & 0 & -1 . A imagem de é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz associada a .
A matriz associada a é:
Passo 6
Para encontrar a Imagem de , precisamos identificar os vetores que geram todas as colunas de . Vamos verificar se as colunas são linearmente independentes através da redução por linhas.
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda e a primeira linha da terceira:
1 & 13 & -13 0 & 1 & 2 0 & -13 & -23
Multiplicamos a segunda linha por 3:
1 & 13 & -13 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0
Somamos da segunda linha à terceira linha:
A matriz está agora em forma escalonada, indicando que as duas primeiras colunas são pivôs e, portanto, linearmente independentes.
Passo 8
Como as duas primeiras colunas são linearmente independentes, uma base para a Imagem de 3 2 1 , 1 1 0 é formada pelos vetores correspondentes a essas colunas:
Resposta
Uma base para o Núcleo de é e uma base para a Imagem de é .