Seja T: R^3 R^3 uma aplicação linear. Determinar bases de NucT e de Im T. T(x, y, z)=(z+y, 2 z+y, z)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma aplicação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar duas coisas:
  1. Uma base para o Núcleo de (denotado por ), que é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero.
  2. Uma base para a Imagem de (denotado por ), que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e dependência linear.

Passo 2

Vamos começar encontrando o Núcleo de z + y = 0 2z + y = 0 z = 0 . O Núcleo é formado por todos os vetores que satisfazem , onde é o vetor zero em .
Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela terceira equação:
z = 0
Com 0 + y = 0 Rightarrow y = 0 , substituímos na primeira equação:
2(0) + 0 = 0 Rightarrow 0 = 0
Agora, com e , a segunda equação se torna:
Isso confirma que as únicas soluções são e . A variável não está restrita pelas equações, então ela pode ser qualquer número real.

Passo 4

Portanto, o Núcleo de 1 0 0 é o conjunto de todos os vetores , onde pode ser qualquer número real. Em termos de base, isso significa que uma base para é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a Imagem de T(x, y, z) = z 1 2 1 + y 1 1 0 . A Imagem de é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum em .
A transformação mapeia para . Podemos ver isso como uma combinação linear das componentes de :

Passo 6

Isso significa que qualquer vetor na Imagem de 1 2 1 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores 1 1 0 e 1 & 1 2 & 1 1 & 0 . Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes para formar uma base.
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante:
Como temos uma matriz 3x2, verificamos a independência linear observando se uma das colunas não é múltiplo da outra. Claramente, não são múltiplos, então eles são linearmente independentes.

Passo 7

Portanto, uma base para a Imagem de 1 2 1 , 1 1 0 é:

Resposta

Uma base para 1 0 0 é 1 2 1 e uma base para 1 1 0 é .

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