Verifique se os conjuntos abaixo, com as operações definidas, sâo ou nâo espaços vetoriais reais. O conjuntos dos pares
de números reais com as operações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se o conjunto formado por pares de números reais
, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, é ou não um espaço vetorial real. Para isso, vamos precisar lembrar quais são as regras (ou axiomas) que um espaço vetorial precisa seguir e checar se as operações dadas cumprem todas essas regras.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como as operações estão definidas:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Para ser um espaço vetorial, essas operações precisam seguir certos axiomas, como associatividade, existência de um elemento neutro (zero), e assim por diante. Vamos verificar alguns desses axiomas.
Passo 3
Axioma da Comutatividade da Adição:
Um dos axiomas diz que a adição deve ser comutativa, ou seja:
Vamos testar isso com as definições dadas:
Observamos que
é igual a
, então a comutatividade parece estar ok.
Passo 4
Axioma do Elemento Neutro da Adição:
Outro axioma importante é a existência do elemento neutro, que é um vetor tal que:
Vamos tentar encontrar um vetor
que funcione como neutro:
Isso implica que:
Então, o candidato ao elemento neutro seria
.
Passo 5
Verificando o Elemento Neutro:
Vamos ver se
realmente funciona como elemento neutro:
E também:
Então, de fato,
age como o elemento neutro para a adição definida.
Passo 6
Axioma da Associatividade da Adição:
Vamos verificar se a adição é associativa, ou seja:
Tomemos
,
, e
.
Calculando ambos os lados:
Os dois lados são iguais, então a associatividade está ok.
Passo 7
Axioma da Existência de Inversos Adicionais:
Para cada vetor
, deve existir um inverso
tal que:
No nosso caso, o elemento neutro é
, então queremos:
Isso dá:
Então, o inverso de
seria
.
Passo 8
Verificando a Multiplicação por Escalar:
Precisamos checar se a multiplicação por escalar está funcionando corretamente com os axiomas. Por exemplo, a distributividade:
Vamos testar isso:
Comparando os dois resultados:
A não equivalência mostra que a distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição falha.
Resposta
Como a operação de multiplicação por escalar não satisfaz os axiomas necessários (especificamente a distributividade), o conjunto dos pares
com as operações definidas não é um espaço vetorial real.