Verifique se os conjuntos abaixo, com as operações definidas, sâo ou nâo espaços vetoriais reais. O conjuntos dos pares x, y de números reais com as operações:
(x0, y0)+(x, y)=(x0+x+1, y0+y+1) e lambda(x, y)=(lambda x, lambda y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se o conjunto formado por pares de números reais , com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, é ou não um espaço vetorial real. Para isso, vamos precisar lembrar quais são as regras (ou axiomas) que um espaço vetorial precisa seguir e checar se as operações dadas cumprem todas essas regras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como as operações estão definidas:
  • Adição:
  • Multiplicação por escalar:
Para ser um espaço vetorial, essas operações precisam seguir certos axiomas, como associatividade, existência de um elemento neutro (zero), e assim por diante. Vamos verificar alguns desses axiomas.

Passo 3

Axioma da Comutatividade da Adição:
Um dos axiomas diz que a adição deve ser comutativa, ou seja:
(u + v) = (v + u)
Vamos testar isso com as definições dadas:
(x0, y0) + (x, y) = (x0 + x + 1, y0 + y + 1)
(x, y) + (x0, y0) = (x + x0 + 1, y + y0 + 1)
Observamos que é igual a , então a comutatividade parece estar ok.

Passo 4

Axioma do Elemento Neutro da Adição:
Outro axioma importante é a existência do elemento neutro, que é um vetor tal que:
v + 0 = v
Vamos tentar encontrar um vetor (x, y) + (a, b) = (x + a + 1, y + b + 1) = (x, y) que funcione como neutro:
x + a + 1 = x Rightarrow a + 1 = 0 Rightarrow a = -1
Isso implica que:
y + b + 1 = y Rightarrow b + 1 = 0 Rightarrow b = -1
Então, o candidato ao elemento neutro seria .

Passo 5

Verificando o Elemento Neutro:
Vamos ver se (x, y) + (-1, -1) = (x + (-1) + 1, y + (-1) + 1) = (x, y) realmente funciona como elemento neutro:
(-1, -1) + (x, y) = (-1 + x + 1, -1 + y + 1) = (x, y)
E também:
Então, de fato, age como o elemento neutro para a adição definida.

Passo 6

Axioma da Associatividade da Adição:
Vamos verificar se a adição é associativa, ou seja:
(u + v) + w = u + (v + w)
Tomemos (u + v) + w = (x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1) + (x3, y3) = ((x1 + x2 + 1) + x3 + 1, (y1 + y2 + 1) + y3 + 1) = (x1 + x2 + x3 + 2, y1 + y2 + y3 + 2) , u + (v + w) = (x1, y1) + (x2 + x3 + 1, y2 + y3 + 1) = (x1 + (x2 + x3 + 1) + 1, y1 + (y2 + y3 + 1) + 1) = (x1 + x2 + x3 + 2, y1 + y2 + y3 + 2) , e .
Calculando ambos os lados:
Os dois lados são iguais, então a associatividade está ok.

Passo 7

Axioma da Existência de Inversos Adicionais:
Para cada vetor v + (-v) = 0 , deve existir um inverso (x, y) + (-x', -y') = (-1, -1) tal que:
x + (-x') + 1 = -1 Rightarrow x' = x + 2
No nosso caso, o elemento neutro é y + (-y') + 1 = -1 Rightarrow y' = y + 2 , então queremos:
Isso dá:
Então, o inverso de seria .

Passo 8

Verificando a Multiplicação por Escalar:
Precisamos checar se a multiplicação por escalar está funcionando corretamente com os axiomas. Por exemplo, a distributividade:
lambda(u + v) = lambda u + lambda v
Vamos testar isso:
u + v = (x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1)
lambda(u + v) = (lambda(x1 + x2 + 1), lambda(y1 + y2 + 1)) = (lambda x1 + lambda x2 + lambda, lambda y1 + lambda y2 + lambda)
lambda u + lambda v = (lambda x1, lambda y1) + (lambda x2, lambda y2) = (lambda x1 + lambda x2 + 1, lambda y1 + lambda y2 + 1)
Comparando os dois resultados:
(lambda x1 + lambda x2 + lambda, lambda y1 + lambda y2 + lambda) neq (lambda x1 + lambda x2 + 1, lambda y1 + lambda y2 + 1)
A não equivalência mostra que a distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição falha.

Resposta

Como a operação de multiplicação por escalar não satisfaz os axiomas necessários (especificamente a distributividade), o conjunto dos pares com as operações definidas não é um espaço vetorial real.

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