Determinar u.v + u.w + v.w, sabendo que u + v + w = 0, | u | = 2, | v | = 3 e | w | = sqrt(5). Todas as letras são vetores.
Passo 1
Beleza, temos um problema de álgebra vetorial. A gente precisa encontrar o valor de $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} $. Sabemos que $ \mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} = 0 $ e as magnitudes dos vetores são $ |\mathbf{u}| = 2 $, $ |\mathbf{v}| = 3 $ e $ |\mathbf{w}| = \sqrt{5} $. Vamos usar propriedades de produto escalar para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de um vetor consigo mesmo é o quadrado da sua magnitude. Ou seja:
Passo 3
Como $ \mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} = 0 $, podemos calcular o produto escalar de ambos os lados da equação consigo mesmo:
Expandindo isso, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir as magnitudes conhecidas:
Então:
Passo 5
Somando os valores:
Agora, isolamos a expressão que queremos encontrar:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por 2:
Resposta
O valor de $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} $ é -9.