Determinar u.v + u.w + v.w, sabendo que u + v + w = 0, | u | = 2, | v | = 3 e | w | = sqrt(5). Todas as letras são vetores.

Passo 1

Beleza, temos um problema de álgebra vetorial. A gente precisa encontrar o valor de $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} $. Sabemos que $ \mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} = 0 $ e as magnitudes dos vetores são $ |\mathbf{u}| = 2 $, $ |\mathbf{v}| = 3 $ e $ |\mathbf{w}| = \sqrt{5} $. Vamos usar propriedades de produto escalar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de um vetor consigo mesmo é o quadrado da sua magnitude. Ou seja:
u cdot u = |u|^2, v cdot v = |v|^2, w cdot w = |w|^2

Passo 3

Como $ \mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} = 0 $, podemos calcular o produto escalar de ambos os lados da equação consigo mesmo:
u + v + w = 0
Expandindo isso, temos:
(u + v + w) cdot (u + v + w) = 0

Passo 4

Agora, vamos substituir as magnitudes conhecidas:
|u|^2 = 4, |v|^2 = 9, |w|^2 = 5
Então:
4 + 9 + 5 + 2(u cdot v + u cdot w + v cdot w) = 0

Passo 5

Somando os valores:
18 + 2(u cdot v + u cdot w + v cdot w) = 0
Agora, isolamos a expressão que queremos encontrar:
2(u cdot v + u cdot w + v cdot w) = -18

Passo 6

Dividindo ambos os lados por 2:
u cdot v + u cdot w + v cdot w = -9

Resposta

O valor de $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} $ é -9.

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