Mostre que para um número real r neq 1 vale
1+r+r^2+cdots+r^n=1-r^n+11-r

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a soma é igual a quando é um número real diferente de 1. Estamos lidando com uma soma geométrica finita aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar termos de uma progressão geométrica e usar um pouco de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a soma que queremos calcular de S = 1 + r + r^2 + cdots + r^n :
Isso significa que é a soma dos termos de uma progressão geométrica onde o primeiro termo é 1 e a razão é .

Passo 3

Agora, para facilitar a soma, vamos multiplicar ambos os lados da equação por r cdot S = r + r^2 + r^3 + cdots + r^n+1 :
Perceba que cada termo da soma original foi multiplicado por , deslocando os índices dos exponentes.

Passo 4

Agora, vamos subtrair a equação r cdot S - S = (r + r^2 + r^3 + cdots + r^n+1) - (1 + r + r^2 + cdots + r^n) da equação r cdot S - S = r^n+1 - 1 :
Ao fazer essa subtração, quase todos os termos se cancelam:

Passo 5

Fatorando S(r - 1) = 1 - r^n+1 do lado esquerdo da equação:
Note que reorganizamos os termos do lado direito para manter uma ordem mais comum em expressões matemáticas.

Passo 6

Por fim, isolamos S = 1 - r^n+11 - r dividindo ambos os lados por :
Prontinho! Mostramos que a soma realmente é igual a quando .

Resposta

A soma é igual a para qualquer número real .

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