Mostre que para um número real
vale
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a soma
é igual a
quando
é um número real diferente de 1. Estamos lidando com uma soma geométrica finita aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar termos de uma progressão geométrica e usar um pouco de álgebra para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a soma que queremos calcular de
:
Isso significa que
é a soma dos termos de uma progressão geométrica onde o primeiro termo é 1 e a razão é
.
Passo 3
Agora, para facilitar a soma, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Perceba que cada termo da soma original foi multiplicado por
, deslocando os índices dos exponentes.
Passo 4
Agora, vamos subtrair a equação
da equação
:
Ao fazer essa subtração, quase todos os termos se cancelam:
Passo 5
Fatorando
do lado esquerdo da equação:
Note que reorganizamos os termos do lado direito para manter uma ordem mais comum em expressões matemáticas.
Passo 6
Por fim, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Prontinho! Mostramos que a soma
realmente é igual a
quando
.
Resposta
A soma
é igual a
para qualquer número real
.