Determinar o valor de a para que seja 45° o ângulo entre os vetores u = (2.1) e v = (1,a).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de vetores onde precisamos encontrar o valor de $ a $ tal que o ângulo entre os vetores $ \mathbf{u} = (2, 1) $ e $ \mathbf{v} = (1, a) $ seja de $ 45^\circ $. Para isso, vamos utilizar conceitos de produto escalar e magnitude de vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o ângulo entre dois vetores. A fórmula para o cosseno do ângulo $ \theta $ entre $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $ é:
theta
Aqui, $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} $ representa o produto escalar dos vetores e $ |\mathbf{u}| $ e $ |\mathbf{v}| $ são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} $. Para dois vetores $ \mathbf{u} = (u_1, u_2) $ e $ \mathbf{v} = (v_1, v_2) $, o produto escalar é dado por:
u cdot v
Substituindo os valores:
u = (u1, u2)

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $. A magnitude de um vetor $ \mathbf{u} = (u_1, u_2) $ é:
u
Para $ \mathbf{u} = (2, 1) $:
v
Para $ \mathbf{v} = (1, a) $:
u = (u1, u2)

Passo 5

Sabemos que o ângulo $ \theta $ entre os vetores é $ 45^\circ $. O cosseno de $ 45^\circ $ é:
theta
Agora, vamos substituir tudo na fórmula do cosseno:
45^circ
Substituindo os valores que encontramos:
45^circ

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar $ a $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ \sqrt{5} \cdot \sqrt{1 + a^2} $:
a
Simplificando os coeficientes:
raiz5 cdot raiz1 + a^2

Passo 7

Agora, vamos isolar a raiz quadrada. Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
2(2 + a) = raiz10 cdot raiz1 + a^2
4 + 2a = raiz10 cdot raiz1 + a^2

Passo 8

Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:
(4 + 2a)^2 = (raiz10)^2 cdot (raiz1 + a^2)^2
16 + 16a + 4a^2 = 10(1 + a^2)

Passo 9

Agora, vamos expandir e simplificar a equação:
16 + 16a + 4a^2 = 10 + 10a^2
Levamos todos os termos para o lado esquerdo:
16 + 16a + 4a^2 - 10 - 10a^2 = 0
6 + 16a - 6a^2 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
3 + 8a - 3a^2 = 0
Reorganizando:
-3a^2 + 8a + 3 = 0
Multiplicamos por -1 para facilitar:
3a^2 - 8a - 3 = 0

Passo 10

Agora, temos uma equação quadrática da forma $ ax^2 + bx + c = 0 $. Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
ax^2 + bx + c = 0
A fórmula é:
a = 3, b = -8, c = -3
Substituindo os valores:
a = -b pm raizb^2 - 4ac2a
a = -(-8) pm raiz(-8)^2 - 4 cdot 3 cdot (-3)2 cdot 3
a = 8 pm raiz64 + 366
a = 8 pm raiz1006

Passo 11

Calculando as duas soluções possíveis:
  1. $ a = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3 $
  2. $ a = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $

Resposta

Os valores de $ a $ que fazem o ângulo entre os vetores $ \mathbf{u} = (2, 1) $ e $ \mathbf{v} = (1, a) $ ser de $ 45^\circ $ são $ a = 3 $ e $ a = -\frac{1}{3} $.

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