Determinar o valor de a para que seja 45° o ângulo entre os vetores u = (2.1) e v = (1,a).
Passo 1
Vamos resolver um exercício de vetores onde precisamos encontrar o valor de $ a $ tal que o ângulo entre os vetores $ \mathbf{u} = (2, 1) $ e $ \mathbf{v} = (1, a) $ seja de $ 45^\circ $. Para isso, vamos utilizar conceitos de produto escalar e magnitude de vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular o ângulo entre dois vetores. A fórmula para o cosseno do ângulo $ \theta $ entre $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $ é:
Aqui, $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} $ representa o produto escalar dos vetores e $ |\mathbf{u}| $ e $ |\mathbf{v}| $ são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} $. Para dois vetores $ \mathbf{u} = (u_1, u_2) $ e $ \mathbf{v} = (v_1, v_2) $, o produto escalar é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $. A magnitude de um vetor $ \mathbf{u} = (u_1, u_2) $ é:
Para $ \mathbf{u} = (2, 1) $:
Para $ \mathbf{v} = (1, a) $:
Passo 5
Sabemos que o ângulo $ \theta $ entre os vetores é $ 45^\circ $. O cosseno de $ 45^\circ $ é:
Agora, vamos substituir tudo na fórmula do cosseno:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para encontrar $ a $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ \sqrt{5} \cdot \sqrt{1 + a^2} $:
Simplificando os coeficientes:
Passo 7
Agora, vamos isolar a raiz quadrada. Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Passo 8
Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Passo 9
Agora, vamos expandir e simplificar a equação:
Levamos todos os termos para o lado esquerdo:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Reorganizando:
Multiplicamos por -1 para facilitar:
Passo 10
Agora, temos uma equação quadrática da forma $ ax^2 + bx + c = 0 $. Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
A fórmula é:
Substituindo os valores:
Passo 11
Calculando as duas soluções possíveis:
- $ a = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3 $
- $ a = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $
Resposta
Os valores de $ a $ que fazem o ângulo entre os vetores $ \mathbf{u} = (2, 1) $ e $ \mathbf{v} = (1, a) $ ser de $ 45^\circ $ são $ a = 3 $ e $ a = -\frac{1}{3} $.