Determinar o valor de a para que seja o ângulo entre os vetores e .
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar o valor de de forma que o ângulo entre os vetores e seja de . Vamos usar a matéria de produto escalar e a fórmula que relaciona o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores e é calculado assim:
Vamos calcular isso para os nossos vetores.
Passo 3
Calculando o produto escalar:
Então, o produto escalar é .
Passo 4
Agora, precisamos das magnitudes (ou módulos) dos vetores e . A magnitude de um vetor é:
Vamos calcular para ambos os vetores.
Para :
Para :
Passo 5
A fórmula que relaciona o ângulo entre dois vetores é:
Sabemos que , então:
Sabendo que , temos:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
Distribuindo:
Reorganizando os termos:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: