Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
x1-x2-x3+x4 & =1 x1+x2-x3-x4 & =1 x1-x2+x3-x4 & =-1 -x1+x2-x3+x4 & =0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com quatro variáveis reais ( ) e quatro equações. O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares usando eliminação e eliminação total. Para resolver esse sistema, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que nos ajudará a simplificar as equações até encontrar uma solução ou determinar se o sistema é inconsistente.

Passo 2

Vamos começar escrevendo o sistema de equações de forma organizada:
x1 - x2 - x3 + x4 =1 (Equação 1) x1 + x2 - x3 - x4 =1 (Equação 2) x1 - x2 + x3 - x4 =-1 (Equação 3) -x1 + x2 - x3 + x4 =0 (Equação 4) çãçãçãçã

Passo 3

Vamos representar esse sistema na forma de uma matriz aumentada para facilitar os cálculos:
1 & -1 & -1 & 1 & | &1 1 & 1 & -1 & -1 & | &1 1 & -1 &1 & -1 & | &-1 -1 &1 & -1 &1 & | &0

Passo 4

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde conseguimos eliminar variáveis passo a passo. Vamos usar a eliminação de Gauss para isso.
Primeiro, vamos usar a Equação 1 como nosso pivô para eliminar (1 - 1) ,x1 & = 0 (1 - (-1)) ,x2 & = 2x2 (-1 - (-1)) ,x3 & = 0 (-1 - 1) ,x4 & = -2x4 1 - 1 & = 0 das demais equações.
  • Subtrair a Equação 1 da Equação 2:
    (1 - 1) ,x1 & = 0 (-1 - (-1)) ,x2 & = 0 (1 - (-1)) ,x3 & = 2x3 (-1 -1) ,x4 & = -2x4 -1 -1 & = -2
    Resultado: (-1 +1) ,x1 & = 0 (1 + (-1)) ,x2 & = 0 (-1 + (-1)) ,x3 & = -2x3 (1 +1) ,x4 & = 2x4 0 +1 & =1
  • Subtrair a Equação 1 da Equação 3:
    1 & -1 & -1 & 1 & | &1 0 & 2 & 0 & -2 & | &0 0 & 0 & 2 & -2 & | &-2 0 & 0 & -2 &2 & | &1
    Resultado:
  • Adicionar a Equação 1 à Equação 4:
    Resultado:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a Segunda Equação dividindo todos os seus termos por 2, para facilitar a eliminação futura:
12 times (0x1 + 2x2 + 0x3 -2x4 =0) Rightarrow 0x1 +1x2 +0x3 -1x4 =0
Assim, a matriz atualizada é:
1 & -1 & -1 &1 & | &1 0 &1 &0 &-1 & | &0 0 &0 &2 &-2 & | &-2 0 &0 &-2 &2 & | &1

Passo 6

Vamos agora usar a Segunda Equação para eliminar (1 +0) ,x1 & =1x1 (-1 +1) ,x2 & =0x2 (-1 +0) ,x3 & =-1x3 (1 -1) ,x4 & =0x4 1 +0 & =1 da Primeira Equação.
  • Adicionar a Segunda Equação à Primeira Equação:
    1 &0 &-1 &0 & | &1 0 &1 &0 &-1 & | &0 0 &0 &2 &-2 & | &-2 0 &0 &-2 &2 & | &1
    Resultado:
A matriz agora fica:

Passo 7

Agora, focaremos nas Terceira e Quarta Equações para eliminar (0 +0) ,x1 & =0 (0 +0) ,x2 & =0 (2 + (-2)) ,x3 & =0x3 (-2 +2) ,x4 & =0x4 (-2 +1) & =-1 .
  • Adicionar a Terceira Equação à Quarta Equação:
    1 &0 &-1 &0 & | &1 0 &1 &0 &-1 & | &0 0 &0 &2 &-2 & | &-2 0 &0 &0 &0 & | &-1
    Resultado:
A matriz atualizada é:

Passo 8

Observamos na Quarta Equação que todos os coeficientes das variáveis são zero, mas o termo constante é 0x1 +0x2 +0x3 +0x4 = -1 . Isso resulta em uma equação do tipo:
Essa equação é inconsistente porque afirma que , o que é impossível.

Resposta

O sistema de equações é inconsistente e não possui solução.

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