Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para converter a base
em uma base ortonormal de
. Utilize o seguinte produto interno:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar a base
do espaço dos polinômios de grau até 2,
, em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Para isso, vamos usar o produto interno definido por
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma base ortonormal. Uma base é ortonormal se todos os vetores (neste caso, polinômios) são ortogonais entre si e cada um tem norma 1. Para conseguir isso, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt, que ajusta uma base qualquer para que ela se torne ortogonal e, depois, normaliza cada vetor.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro polinômio da base
, que é
. Como não temos nenhum polinômio antes dele, o primeiro vetor ortogonal será ele mesmo. Agora, precisamos normalizar
, ou seja, dividir por sua norma.
A norma de
é dada por:
Então, o primeiro vetor ortonormal é:
Passo 4
Agora, vamos para o segundo polinômio da base,
. Precisamos torná-lo ortogonal em relação a
. Fazemos isso subtraindo de
a projeção dele sobre
.
A projeção de
sobre
é:
Calculando
:
Então:
Agora, o vetor ortogonal
é:
Vamos normalizar
:
Então, o segundo vetor ortonormal é:
Passo 5
Agora, vamos para o terceiro polinômio,
. Precisamos torná-lo ortogonal em relação a
e
.
Primeiro, subtraímos as projeções sobre
e
:
Calculando
:
Então:
Agora, calculamos
:
Então:
Agora, o vetor ortogonal
é:
Vamos normalizar
:
Então, o terceiro vetor ortonormal é:
Resposta
A base ortonormal de
obtida pelo processo de Gram-Schmidt é:
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na sua forma matricial:
.
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do
dado por:
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o ângulo entre os vetores
e
.