Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para converter a base B=1, x, x^2 em uma base ortonormal de P2. Utilize o seguinte produto interno: lang<= p, qrang<==p(0) q(0)+p(1) q(1)+p(2) q(2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar a base do espaço dos polinômios de grau até 2, , em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Para isso, vamos usar o produto interno definido por .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma base ortonormal. Uma base é ortonormal se todos os vetores (neste caso, polinômios) são ortogonais entre si e cada um tem norma 1. Para conseguir isso, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt, que ajusta uma base qualquer para que ela se torne ortogonal e, depois, normaliza cada vetor.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro polinômio da base |v1| = raizlang<= v1, v1 rang<= = raiz1(0)^2 + 1(1)^2 + 1(2)^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 , que é u1 = v1|v1| = 1raiz3 . Como não temos nenhum polinômio antes dele, o primeiro vetor ortogonal será ele mesmo. Agora, precisamos normalizar , ou seja, dividir por sua norma.
A norma de é dada por:
Então, o primeiro vetor ortonormal é:

Passo 4

Agora, vamos para o segundo polinômio da base, proju1(v2) = lang<= v2, u1 rang<= u1 . Precisamos torná-lo ortogonal em relação a lang<= x, 1raiz3 rang<= = 1raiz3 (x(0) + x(1) + x(2)) = 1raiz3 (0 + 1 + 2) = 3raiz3 = raiz3 . Fazemos isso subtraindo de proju1(x) = raiz3 cdot 1raiz3 = 1 a projeção dele sobre v2' = v2 - proju1(v2) = x - 1 .
A projeção de |v2'| = raizlang<= v2', v2' rang<= = raiz( -1)^2 + (1 - 1)^2 + (2 - 1)^2 = raiz1 + 0 +1 = raiz2 sobre u2 = v2'|v2'| = x - 1raiz2 é:
Calculando :
Então:
Agora, o vetor ortogonal é:
Vamos normalizar :
Então, o segundo vetor ortonormal é:

Passo 5

Agora, vamos para o terceiro polinômio, v3' = v3 - proju1(v3) - proju2(v3) . Precisamos torná-lo ortogonal em relação a lang<= x^2, 1raiz3 rang<= = 1raiz3 (x^2(0) + x^2(1) + x^2(2)) = 1raiz3 (0 + 1 + 4) = 5raiz3 e proju1(x^2) = 5raiz3 cdot 1raiz3 = 53 .
Primeiro, subtraímos as projeções sobre lang<= x^2, x - 1raiz2 rang<= = 1raiz2 (x^2(0)(x(0) - 1) + x^2(1)(x(1) -1 ) + x^2(2)(x(2) -1 )) = 1raiz2 (0 cdot (-1) + 1 cdot (1 -1) + 4 cdot (2 -1)) = 4raiz2 = 2raiz2 e proju2(x^2) = 2raiz2 cdot x - 1raiz2 = 2(x - 1) :
v3' = x^2 - 53 - 2(x - 1) = x^2 - 2x + 13
Calculando |v3'| = raizlang<= v3', v3' rang<= = raiz( 13)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = raiz19 + 1 + 1 = raiz199 = raiz193 :
u3 = v3'|v3'| = x^2 - 2x + 13raiz193 = 3x^2 - 6x + 1raiz19
Então:
Agora, calculamos :
Então:
Agora, o vetor ortogonal é:
Vamos normalizar :
Então, o terceiro vetor ortonormal é:

Resposta

A base ortonormal de 1raiz3, x - 1raiz2, 3x^2 - 6x + 1raiz19 obtida pelo processo de Gram-Schmidt é:

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