Achar os autovalores e autovetores do operador T do R^2 dado por: T(x, y)=(x+y, x-y)

Passo 1

Vamos resolver um problema de álgebra linear onde precisamos encontrar os autovalores e autovetores de um operador linear definido em por . Para isso, vamos precisar entender como calcular autovalores e autovetores de uma matriz, que representam as escalas e direções invariantes sob a aplicação desse operador.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador T = 1 & 1 1 & -1 como uma matriz. O operador pode ser escrito na forma matricial:

Passo 3

Para encontrar os autovalores T - lambda I = 1 - lambda & 1 1 & -1 - lambda , precisamos resolver a equação característica det( det(T - lambda I) = (1 - lambda)(-1 - lambda) - (1)(1) = ( -1 - lambda + lambda + lambda^2 ) - 1 = lambda^2 - 2 ) = 0, onde é a matriz identidade. Vamos calcular essa determinante:
A determinante é:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
lambda^2 - 2 = 0 implies lambda^2 = 2 implies lambda = raiz2 ou lambda = -raiz2
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Para cada autovalor, vamos encontrar o respectivo autovetor 1 - raiz2 & 1 1 & -1 - raiz2 v1 v2 = 0 0 que satisfaz (1 - raiz2)v1 + v2 = 0 implies v2 = (raiz2 - 1)v1 .
Primeiro, para 1 raiz2 - 1 :
Isso resulta em:
Podemos escolher , então . Portanto, um autovetor correspondente a é .

Passo 6

Agora, para 1 + raiz2 & 1 1 & -1 + raiz2 v1 v2 = 0 0 :
(1 + raiz2)v1 + v2 = 0 implies v2 = - (1 + raiz2)v1
Isso resulta em:
1 -1 - raiz2
Escolhendo , temos . Portanto, um autovetor correspondente a é .

Resposta

Os autovalores do operador 1 raiz2 - 1 são 1 -1 - raiz2 com autovetor e com autovetor .

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