Achar os autovalores e autovetores do operador
do
dado por:
Passo 1
Vamos resolver um problema de álgebra linear onde precisamos encontrar os autovalores e autovetores de um operador linear
definido em
por
. Para isso, vamos precisar entender como calcular autovalores e autovetores de uma matriz, que representam as escalas e direções invariantes sob a aplicação desse operador.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador
como uma matriz. O operador
pode ser escrito na forma matricial:
Passo 3
Para encontrar os autovalores
, precisamos resolver a equação característica det(
) = 0, onde
é a matriz identidade. Vamos calcular essa determinante:
A determinante é:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 5
Para cada autovalor, vamos encontrar o respectivo autovetor
que satisfaz
.
Primeiro, para
:
Isso resulta em:
Podemos escolher
, então
. Portanto, um autovetor correspondente a
é
.
Passo 6
Agora, para
:
Isso resulta em:
Escolhendo
, temos
. Portanto, um autovetor correspondente a
é
.
Resposta
Os autovalores do operador
são
com autovetor
e
com autovetor
.
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em uma base ortonormal de
. Utilize o seguinte produto interno:
.
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e
.
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