Determinar o valor de de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores e e , seja unitário.
RESP: ou
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente encontre o valor de para que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e seja igual a 1 (unitário). Para isso, vamos precisar saber como calcular o volume de um paralelepípedo usando o produto misto de vetores.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que o volume de um paralelepípedo formado por três vetores , e é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores. O produto misto pode ser calculado usando determinantes, ou seja:
Aqui, é o produto vetorial de e , e depois fazemos o produto escalar desse resultado com .
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial . Usando a regra do determinante para vetores:
Calculando isso:
v times w = 3i + 3j + (1 + x)k
Passo 4
Agora, fazemos o produto escalar de u cdot (v times w) = (2)(3) + (-1)(3) + (1)(1 + x) com u cdot (v times w) = 6 - 3 + 1 + x = 4 + x :