Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores u=2 i-j+k e v=i-j e w=x i+j-3 k, seja unitário.
RESP: x=-5 ou x=-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente encontre o valor de para que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e seja igual a 1 (unitário). Para isso, vamos precisar saber como calcular o volume de um paralelepípedo usando o produto misto de vetores.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que o volume V = |u cdot (v times w)| de um paralelepípedo formado por três vetores , e é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores. O produto misto pode ser calculado usando determinantes, ou seja:
Aqui, é o produto vetorial de e , e depois fazemos o produto escalar desse resultado com .

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial v times w = i & j & k 1 & -1 & 0 x & 1 & -3 . Usando a regra do determinante para vetores:
v times w = i((-1)(-3) - (0)(1)) - j((1)(-3) - (0)(x)) + k((1)(1) - (-1)(x))
Calculando isso:
v times w = 3i + 3j + (1 + x)k

Passo 4

Agora, fazemos o produto escalar de u cdot (v times w) = (2)(3) + (-1)(3) + (1)(1 + x) com u cdot (v times w) = 6 - 3 + 1 + x = 4 + x :

Passo 5

Sabemos que o volume precisa ser 1, então:
|4 + x| = 1
Isso gera duas possibilidades:

Resposta

ou

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