Beleza, vamos resolver esse problema! O que a gente tem aqui são três vetores: , e . A gente precisa encontrar um vetor que satisfaça três condições de produto escalar:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de sistema de equações lineares, onde cada condição de produto escalar se transforma numa equação matemática para encontrar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o produto escalar. Se tivermos dois vetores e , o produto escalar é calculado assim:
Então, vamos aplicar isso às três condições que temos.
Passo 3
Vamos transformar cada condição de produto escalar em uma equação:
Para :
Para :
Para :
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas.
Passo 4
Vamos organizar o sistema para resolver melhor:
A estratégia aqui será resolver esse sistema passo a passo usando métodos como substituição ou eliminação.
Passo 5
Vamos começar eliminando uma das variáveis. Vamos eliminar o z das equações 1 e 3. Para isso, podemos somar as equações 1 e 3:
(2x - y + z) + (x + y - z) = 4 + 5 3x = 9 x = 3
Já conseguimos descobrir que x = 3!
Passo 6
Com x = 3, vamos substituir esse valor nas equações restantes para encontrar y e z. Vamos usar a equação 3 para achar uma relação entre y e z:
3 + y - z = 5 y - z = 2 Rightarrow y = z + 2
Agora temos y em termos de z.
Passo 7
Agora, vamos substituir x = 3 na equação 2:
3 - 2y - 2z = -9 -2y - 2z = -12 y + z = 6 (dividindo por -2)
Agora temos duas equações com y e z:
y = z + 2 y + z = 6
Passo 8
Vamos substituir y = z + 2 na segunda equação:
(z + 2) + z = 6 2z + 2 = 6 2z = 4 z = 2
Agora sabemos que z = 2.
Passo 9
Com z = 2, voltamos na relação y = z + 2 para encontrar y:
y = 2 + 2 y = 4
Resposta
Então, o vetor que estamos procurando é v = (3, 4, 2).