Sendo a=(2,-1,1), b=(1,-2,-2) e c=(1,1,-1). Calcular um vetor v=(x, y, z), tal que v bul<=t a=4, v bul<=t b=-9 e v bul<=t c=5.
RESP: v=(3,4,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema! O que a gente tem aqui são três vetores: a = (2, -1, 1), b = (1, -2, -2) e c = (1, 1, -1). A gente precisa encontrar um vetor v = (x, y, z) que satisfaça três condições de produto escalar:
  1. v bul<=t a = 4
  2. v bul<=t b = -9
  3. v bul<=t c = 5
Para resolver isso, vamos usar o conceito de sistema de equações lineares, onde cada condição de produto escalar se transforma numa equação matemática para encontrar os valores de x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o produto escalar. Se tivermos dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3), o produto escalar é calculado assim:
u bul<=t v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Então, vamos aplicar isso às três condições que temos.

Passo 3

Vamos transformar cada condição de produto escalar em uma equação:
  1. Para v bul<=t a = 4:
2x + (-1)y + 1z = 4 Rightarrow 2x - y + z = 4
  1. Para v bul<=t b = -9:
1x + (-2)y + (-2)z = -9 Rightarrow x - 2y - 2z = -9
  1. Para v bul<=t c = 5:
1x + 1y + (-1)z = 5 Rightarrow x + y - z = 5
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas.

Passo 4

Vamos organizar o sistema para resolver melhor:
2x - y + z = 4 x - 2y - 2z = -9 x + y - z = 5
A estratégia aqui será resolver esse sistema passo a passo usando métodos como substituição ou eliminação.

Passo 5

Vamos começar eliminando uma das variáveis. Vamos eliminar o z das equações 1 e 3. Para isso, podemos somar as equações 1 e 3:
(2x - y + z) + (x + y - z) = 4 + 5 3x = 9 x = 3
Já conseguimos descobrir que x = 3!

Passo 6

Com x = 3, vamos substituir esse valor nas equações restantes para encontrar y e z. Vamos usar a equação 3 para achar uma relação entre y e z:
3 + y - z = 5 y - z = 2 Rightarrow y = z + 2
Agora temos y em termos de z.

Passo 7

Agora, vamos substituir x = 3 na equação 2:
3 - 2y - 2z = -9 -2y - 2z = -12 y + z = 6 (dividindo por -2)
Agora temos duas equações com y e z:
y = z + 2 y + z = 6

Passo 8

Vamos substituir y = z + 2 na segunda equação:
(z + 2) + z = 6 2z + 2 = 6 2z = 4 z = 2
Agora sabemos que z = 2.

Passo 9

Com z = 2, voltamos na relação y = z + 2 para encontrar y:
y = 2 + 2 y = 4

Resposta

Então, o vetor que estamos procurando é v = (3, 4, 2).

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