Sendo u=(1,1,0), v=(2,1,3) e w=(0,2,-1). Calcular a área do triângulo A B C e o volume do tetraedro A B C D, onde B=A+u C=A+v e D=A+w.
RESP: S=raiz192 ua, V=56 uv

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores: u = (1,1,0), v = (2,1,3) e w = (0,2,-1). Precisamos calcular a área do triângulo ABC e o volume do tetraedro ABCD. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial e produto misto. Vamos precisar calcular produtos vetoriais e determinar magnitudes de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são definidos os pontos B, C e D em relação ao ponto A. Dado que:
  • B = A + u
  • C = A + v
  • D = A + w
Isso significa que os vetores u, v e w partem do ponto A até os pontos B, C e D, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar a área do triângulo ABC, vamos usar o produto vetorial entre os vetores u e v. A fórmula para a área de um triângulo formado por dois vetores é:
Área = 12 |u times v| Á
Aqui, u times v representa o produto vetorial entre u e v, e |cdot| indica a magnitude do vetor resultante.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial u times v:
u = (1, 1, 0) v = (2, 1, 3)
O produto vetorial é dado por:
u times v = | ccc i & j & k 1 & 1 & 0 2 & 1 & 3 |
Calculando o determinante:
u times v = i(1 cdot 3 - 0 cdot 1) - j(1 cdot 3 - 0 cdot 2) + k(1 cdot 1 - 1 cdot 2) = 3i - 3j - k = (3, -3, -1)

Passo 5

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante:
|u times v| = raiz3^2 + (-3)^2 + (-1)^2 = raiz9 + 9 + 1 = raiz19
Então, a área do triângulo ABC é:
Área = 12 raiz19 = raiz192 Á

Passo 6

Agora, vamos calcular o volume do tetraedro ABCD. Para isso, usamos o produto misto dos vetores u, v e w. A fórmula para o volume é:
Volume = 16 |u cdot (v times w)|
Aqui, v times w é o produto vetorial entre v e w, e o ponto “ cdot” representa o produto escalar entre u e o vetor resultante.

Passo 7

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial v times w:
v = (2, 1, 3) w = (0, 2, -1)
O produto vetorial é:
v times w = | ccc i & j & k 2 & 1 & 3 0 & 2 & -1 |
Calculando o determinante:
v times w = i(1 cdot (-1) - 3 cdot 2) - j(2 cdot (-1) - 3 cdot 0) + k(2 cdot 2 - 1 cdot 0) = i(-1 - 6) - j(-2 - 0) + k(4 - 0) = -7i + 2j + 4k = (-7, 2, 4)

Passo 8

Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot (v times w):
u = (1, 1, 0) v times w = (-7, 2, 4)
O produto escalar é:
u cdot (v times w) = (1)(-7) + (1)(2) + (0)(4) = -7 + 2 + 0 = -5
Pegamos o valor absoluto para o volume:
|u cdot (v times w)| = |-5| = 5
Então, o volume do tetraedro é:
Volume = 16 times 5 = 56

Resposta

A área do triângulo ABC é raiz192 unidades de área, e o volume do tetraedro ABCD é 56 unidades de volume.

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