Sendo e . Calcular a área do triângulo e o volume do tetraedro , onde e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores: , e . Precisamos calcular a área do triângulo e o volume do tetraedro . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial e produto misto. Vamos precisar calcular produtos vetoriais e determinar magnitudes de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são definidos os pontos , e em relação ao ponto . Dado que:
Isso significa que os vetores , e partem do ponto até os pontos , e , respectivamente.
Passo 3
Para encontrar a área do triângulo , vamos usar o produto vetorial entre os vetores e . A fórmula para a área de um triângulo formado por dois vetores é:
Aqui, representa o produto vetorial entre e , e indica a magnitude do vetor resultante.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial :
O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
u times v = i(1 cdot 3 - 0 cdot 1) - j(1 cdot 3 - 0 cdot 2) + k(1 cdot 1 - 1 cdot 2) = 3i - 3j - k = (3, -3, -1)
Passo 5
Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante: