Determinar os valores das constantes a, b e c para que a função f(x) = { a x + 5, se x < -2; b x^2 + c x, se -2 <= x <= 3; a x^2 + b x, se x > 3 } seja derivável em x = -2 e x = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que muda de expressão dependendo do valor de . Queremos encontrar os valores das constantes , e para que essa função seja derivável nos pontos e . Isso significa que, nesses pontos, a função deve ser contínua e a derivada dela deve existir e ser igual por ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em e . Para isso, o limite da função quando se aproxima desses pontos pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e ao valor da função nesses pontos.

Passo 3

Começando em :
  • Para , .
  • Para , .
Igualamos os valores:
çã

Passo 4

Agora, em :
  • Para , .
  • Para , .
Igualamos os valores:
çã

Passo 5

Agora, vamos garantir que as derivadas sejam iguais nesses pontos. Primeiro em :
  • Derivada para : .
  • Derivada para : .
Igualamos as derivadas em :
çã

Passo 6

Em :
  • Derivada para : .
  • Derivada para : .
Igualamos as derivadas em :
çã

Passo 7

Agora temos um sistema de 4 equações:
Vamos simplificar:
Da Equação 2:
çã
Da Equação 4:
çã
Agora, substituímos na Equação 2 simplificada:
Substituindo na Equação 3:
Agora, substituímos e na Equação 1:
Agora, encontramos e :

Resposta

Os valores das constantes são:

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