Determinar os valores das constantes
e $b
para que a função
seja derivável em
.
para que a função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores das constantes
e
para que a função definida por partes seja derivável no ponto
. Isso envolve entender sobre continuidade e derivabilidade. Vamos precisar garantir que a função seja contínua em
e que as derivadas à esquerda e à direita desse ponto sejam iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em
. Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Para
, a função é
. Então, o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda é:
Para
, a função é
. Então, o limite quando
se aproxima de 2 pela direita é:
Como a função precisa ser contínua, igualamos esses dois limites:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a função seja derivável em
. Para isso, as derivadas à esquerda e à direita de
devem ser iguais.
Primeiro, derivamos a função para
:
Então, a derivada à esquerda de 2 é:
Para
, a derivada da função
é simplesmente:
Então, a derivada à direita de 2 é:
Como as derivadas devem ser iguais:
Passo 4
Agora que já temos a equação (2), podemos resolver para
:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, substituímos na equação (1) para encontrar
:
Resposta
Os valores das constantes são
e
.