Determinar os valores das constantes e $b
para que a função seja derivável em .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores das constantes e para que a função definida por partes seja derivável no ponto . Isso envolve entender sobre continuidade e derivabilidade. Vamos precisar garantir que a função seja contínua em e que as derivadas à esquerda e à direita desse ponto sejam iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Isso significa que o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
Para , a função é . Então, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda é:
Para , a função é . Então, o limite quando se aproxima de 2 pela direita é:
Como a função precisa ser contínua, igualamos esses dois limites:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a função seja derivável em . Para isso, as derivadas à esquerda e à direita de devem ser iguais.
Primeiro, derivamos a função para :
Então, a derivada à esquerda de 2 é:
Para , a derivada da função é simplesmente:
Então, a derivada à direita de 2 é:
Como as derivadas devem ser iguais:
Passo 4
Agora que já temos a equação (2), podemos resolver para :
Passo 5
Com o valor de encontrado, substituímos na equação (1) para encontrar :