Considere a função definida por é derivável no valor de encontrado na parte (a)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes, que muda de fórmula no ponto . O exercício pede para saber se essa função é derivável nesse valor de que foi encontrado na parte (a). Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas de funções definidas por partes e verificar se a derivada à esquerda e à direita de são iguais.

Passo 2

Primeiro, para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto. Como o valor de foi encontrado na parte (a), assumimos que já garantimos que a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação da função nesse ponto. No caso de funções definidas por partes, precisamos calcular as derivadas de cada parte da função e verificar se elas coincidem no ponto onde a função muda de expressão, ou seja, em .

Passo 4

Vamos derivar cada parte da função separadamente:
  1. Para , temos . A derivada de é .
  2. Para , temos . A derivada aqui é , já que a derivada de uma constante é zero e a derivada de é .

Passo 5

Agora, precisamos avaliar essas derivadas no ponto :
  • A derivada à esquerda de (quando se aproxima de pela esquerda) é .
  • A derivada à direita de (quando se aproxima de pela direita) é .

Passo 6

Para a função ser derivável em , as derivadas à esquerda e à direita devem ser iguais, ou seja:

Passo 7

Resolvendo a equação:

Passo 8

Então, no valor de , temos que as derivadas à esquerda e à direita são iguais:

Resposta

Sim, a função é derivável no valor de .

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Seja a função dada por . Verifique se é contínua em
Encontrar as derivada laterais no ponto indicado, caso existam, das funções dadas a seguir:
Determinar os valores das constantes e $b
para que a função seja derivável em .
Determinar os valores das constantes e para que a função seja derivável em e .