Considere a função definida por é derivável no valor de encontrado na parte (a)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes, que muda de fórmula no ponto . O exercício pede para saber se essa função é derivável nesse valor de que foi encontrado na parte (a). Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas de funções definidas por partes e verificar se a derivada à esquerda e à direita de são iguais.
Passo 2
Primeiro, para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto. Como o valor de foi encontrado na parte (a), assumimos que já garantimos que a função é contínua em .
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação da função nesse ponto. No caso de funções definidas por partes, precisamos calcular as derivadas de cada parte da função e verificar se elas coincidem no ponto onde a função muda de expressão, ou seja, em .
Passo 4
Vamos derivar cada parte da função separadamente:
Para , temos . A derivada de é .
Para , temos . A derivada aqui é , já que a derivada de uma constante é zero e a derivada de é .
Passo 5
Agora, precisamos avaliar essas derivadas no ponto :
A derivada à esquerda de (quando se aproxima de pela esquerda) é .
A derivada à direita de (quando se aproxima de pela direita) é .
Passo 6
Para a função ser derivável em , as derivadas à esquerda e à direita devem ser iguais, ou seja:
Passo 7
Resolvendo a equação:
Passo 8
Então, no valor de , temos que as derivadas à esquerda e à direita são iguais: