Seja a função dada por . Verifique se é contínua em

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisa verificar se ela é contínua em . Vamos usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função. A expressão é o valor absoluto de , que muda dependendo se é maior ou menor que 2.

Passo 3

Para verificar a continuidade em , precisamos garantir que o limite da função quando se aproxima de 2 existe e é igual ao valor da função em 2.

Passo 4

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
Quando se aproxima de 2 pela esquerda, se aproxima de 0, então:

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 2 pela direita ( ):
Quando se aproxima de 2 pela direita, também se aproxima de 0, então:

Passo 6

O valor da função em é:
Os limites laterais são iguais e ambos s��o 0, que é igual ao valor da função em 2.

Resposta

A função é contínua em .

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para que a função seja derivável em .