Determinar os valores de m e n para que a reta r:lx=3+lambda y=-1-lambda z=-2-lambda esteja contida no Plano pi: 2 x+m y+n z-5=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de r: x = 3 + lambda y = -1 - lambda z = -2 - lambda e pi: 2x + m y + n z - 5 = 0 de modo que a reta , definida pelas equações paramétricas
esteja contida no plano dado por
Vamos usar conceitos de geometria analítica para encontrar esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a reta estar contida no plano. Se toda a reta está no plano , então todos os pontos da reta devem satisfazer a equação do plano. Ou seja, se substituirmos , e das equações da reta na equação do plano, a igualdade deve valer para qualquer valor de .

Passo 3

Vamos fazer essa substituição. Substituindo 2(3 + lambda) + m(-1 - lambda) + n(-2 - lambda) - 5 = 0 , e na equação do plano :

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão passo a passo:
  1. Distribuímos os termos: 6 + 2lambda - m - mlambda - 2n - nlambda - 5 = 0
  2. Agrupamos os termos semelhantes: (6 - m - 2n - 5) + (2lambda - mlambda - nlambda) = 0
  3. Simplificamos os constantes: 1 - m - 2n + (2 - m - n)lambda = 0

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de 2 - m - n = 0 , os coeficientes de 1 - m - 2n = 0 e o termo constante devem ser iguais a zero separadamente. Isso nos dá um sistema de duas equações:
  1. Coeficiente de :
  2. Termo constante:

Passo 6

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
2 - m - n = 0 (Equação 1) 1 - m - 2n = 0 (Equação 2) çãçã
Podemos resolver pela substituição ou eliminação. Vou optar pela eliminação:
  1. Subtraia a Equação 1 da Equação 2: (1 - m - 2n) - (2 - m - n) = 0 - 0, 1 - m - 2n - 2 + m + n = 0, -1 - n = 0, n = -1

Passo 7

Com o valor de 2 - m - (-1) = 0, , substituímos na Equação 1 para encontrar 2 - m + 1 = 0, :
3 - m = 0,
m = 3

Resposta

Os valores que satisfazem a condição são e .

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