Seja B=(i, 1-i, 2),(2,1,-i),(5-2 i, 4,-1-i) um subconjunto de C^3. Pergunta-se:
O vetor (3+i, 4,2) pertence ao subespaço gerado por B ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores no espaço . A pergunta é: o vetor pertence ao subespaço gerado por ? Ou seja, será que dá pra escrever esse vetor como uma combinação linear dos vetores em ? Para resolver isso, vamos usar umas técnicas de álgebra linear, tipo montar um sistema de equações e resolver pra ver se tem solução.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em combinação linear. Queremos encontrar números a cdot (i, 1-i, 2) + b cdot (2, 1, -i) + c cdot (5-2i, 4, -1-i) = (3+i, 4, 2) , e em (números complexos) tal que:
Isso significa que cada componente do vetor resultante deve ser igual ao correspondente no vetor dado.

Passo 3

Vamos separar isso em três equações, uma para cada coordenada:
  1. Primeira coordenada:
a cdot i + b cdot 2 + c cdot (5 - 2i) = 3 + i
  1. Segunda coordenada:
a cdot (1 - i) + b cdot 1 + c cdot 4 = 4
  1. Terceira coordenada:
a cdot 2 + b cdot (-i) + c cdot (-1 - i) = 2

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas ( , , ). Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos organizar as equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Uma maneira eficiente é usar a substituição ou eliminação. Vamos começar pela segunda equação para isolar uma das variáveis. Por exemplo, na segunda equação:
(1 - i)a + b + 4c = 4
Podemos isolar b = 4 - (1 - i)a - 4c :

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão para a cdot i + 2(4 - (1 - i)a - 4c) + (5 - 2i)c = 3 + i nas outras duas equações. Primeiro, na primeira equação:
ai + 8 - 2(1 - i)a - 8c + 5c - 2ic = 3 + i
Vamos simplificar:
ai + 8 - 2a + 2i a - 8c + 5c - 2ic = 3 + i
(ai + 2i a) + (-2a) + (-8c + 5c) + 8 - 2ic = 3 + i
Agrupando termos semelhantes:
(3i a) - 2a - 3c + 8 - 2ic = 3 + i

Passo 7

Fazendo o mesmo na terceira equação:
2a - i(4 - (1 - i)a - 4c) - (1 + i)c = 2
Simplificando:
2a - 4i + i(1 - i)a + 4i c - (1 + i)c = 2
2a - 4i + i a - i^2 a + 4i c - c - i c = 2
Sabendo que 2a - 4i + ia + a + 4i c - c - i c = 2 :
(2a + a + ia) + (-4i) + (-c) + (4i c - i c) = 2
Agrupando termos semelhantes:
(3a + ia) - 4i - c + 3i c = 2

Passo 8

Agora, temos duas equações simplificadas:
  1. ( -2a + 8 - 3c ) + (3i a - 2i c ) = 3 + i
  2. -2a + 8 - 3c = 3 (Parte real)
Essas equações ainda são complexas, mas podemos separar as partes reais e imaginárias para resolver. Vamos reescrevê-las:
Para a primeira equação:
3a - 2c = 1 (Parte imaginária)
Igualando as partes reais e imaginárias:
(3a - 4i - c) + (ia + 3i c) = 2
3a - c = 2 (Parte real) á
Para a segunda equação:
a + 3c = 0 (Parte imaginária)
Igualando as partes reais e imaginárias:
á

Passo 9

Agora, temos um sistema de quatro equações reais:
  1. a + 3c = 0 Rightarrow a = -3c
  2. 3(-3c) - c = 2 Rightarrow -9c - c = 2 Rightarrow -10c = 2 Rightarrow c = -15
  3. a = -3 times (-15) = 35
  4. 3(35) - 2(-15) = 1 Rightarrow 95 + 25 = 115 neq 1
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da equação 4:
Substituímos na equação 3:
Agora, com , encontramos :
Agora, substituímos e na equação 2:
Percebemos que houve uma inconsistência, indicando que o sistema não tem solução.

Resposta

Não, o vetor não pertence ao subespaço gerado por .

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