Verifique quais dos subconjuntos de R^3 são linearmente independentes.
(1,1,1),(1,0,1),(1,0,2)

Passo 1

Então, a gente tem três vetores no espaço tridimensional R^3: (1,1,1), (1,0,1), (1,0,2). A missão aqui é descobrir quais desses subconjuntos são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre dependência e independência linear e usar matrizes para facilitar nossa análise.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que um conjunto de vetores é linearmente independente. Basicamente, isso quer dizer que nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, se a única solução para a equação c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 for c1 = c2 = c3 = 0, então os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, para verificar isso de forma prática, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for zero, eles são dependentes.
Vamos montar a matriz:
A = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & 2

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3 times 3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos fazer pela regra de Sarrus:
det(A) = 1 cdot 0 cdot 2 + 1 cdot 0 cdot 1 + 1 cdot 1 cdot 1 - 1 cdot 0 cdot 1 - 1 cdot 0 cdot 1 - 1 cdot 1 cdot 2
Calculando cada termo:
det(A) = 0 + 0 + 1 - 0 - 0 - 2 = -1

Passo 5

Como o determinante da matriz A é -1, que é diferente de zero, isso indica que os três vetores são linearmente independentes. Portanto, qualquer subconjunto que contenha todos os três vetores também será linearmente independente.

Resposta

Os subconjuntos formados pelos vetores (1,1,1), (1,0,1), (1,0,2) são linearmente independentes.

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