Verifique quais dos subconjuntos de R^3 são linearmente independentes.
(1,1,1),(1,2,1),(3,2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar quais dos subconjuntos de são linearmente independentes. Nesse caso, estamos analisando o conjunto formado pelos vetores . Vamos precisar entender o que é independência linear e como testar isso usando álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que um conjunto de vetores é linearmente independente. Basicamente, isso quer dizer que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Se conseguirmos expressar um vetor como combinação dos outros, então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos montar uma equação onde uma combinação linear dos vetores resulta no vetor zero:
c1(1,1,1) + c2(1,2,1) + c3(3,2,1) = (0,0,0)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
c1 + c2 + 3c3 = 0 c1 + 2c2 + 2c3 = 0 c1 + c2 + c3 = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para ver se existe uma solução diferente de (c1 + c2 + 3c3) - (c1 + c2 + c3) = 0 - 0 2c3 = 0 c3 = 0 . Se existir, os vetores são dependentes.
Primeiro, subtraímos a terceira equação da primeira:

Passo 5

Com c1 + c2 + 0 = 0 c1 + c2 = 0 c1 = -c2 , substituímos na terceira equação:
-c2 + 2c2 + 0 = 0 c2 = 0
Agora, substituímos c1 = -0 = 0 na segunda equação:
E finalmente, com , temos:

Resposta

Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.

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(1,1,1),(1,0,1),(1,0,2)
Determine o valor de m de modo que o Sistema Linear não possua solução.
l m x+3 y=12 4 x+y=10
Determinar os valores de m e n para que a reta r:lx=3+lambda y=-1-lambda z=-2-lambda esteja contida no Plano pi: 2 x+m y+n z-5=0.
Seja B=(i, 1-i, 2),(2,1,-i),(5-2 i, 4,-1-i) um subconjunto de C^3. Pergunta-se:
O vetor (3+i, 4,2) pertence ao subespaço gerado por B ?