Considere uma carga pontual
em movimento hiperbólico no eixo
(
é constante,
é velocidade da luz e
.
(a) No tempo
, quais pontos do espaço estão cientes da existência da carga?
(a) No tempo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma carga pontual
que está se movendo de forma hiperbólica ao longo do eixo
, com a posição dada por
, onde
é uma constante e
é a velocidade da luz. O que a gente precisa descobrir é: no instante
, quais pontos no espaço já sabem que a carga existe. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Eletrodinâmica, especificamente sobre como as informações (como a existência da carga) se propagam no espaço à velocidade da luz.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que as informações sobre a posição da carga não são instantâneas. Elas viajam na velocidade da luz
. Isso significa que, para um ponto no espaço “saber” onde está a carga em um certo tempo
, deve ter recebido a informação enviada pela carga em um tempo anterior.
Passo 3
Vamos definir o tempo retardado
, que é o tempo em que a carga emitiu a informação que chegou ao ponto em questão exatamente no tempo
. A relação entre a posição da carga no tempo
e a posição do ponto no espaço
é dada por:
Aqui,
representa a distância entre a posição da carga no tempo
e o ponto
.
Passo 4
Substituindo
na equação, temos:
Essa equação relaciona
e
. Nosso objetivo é encontrar quais valores de
satisfazem essa condição para um dado
.
Passo 5
Vamos reescrever a equação para facilitar:
Elevando ambos os lados ao quadrado elimina o valor absoluto:
Passo 6
Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando:
Passo 7
Vamos isolar a raiz quadrada:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Isso nos leva a uma equação quadrática em termos de
. Resolvendo essa equação, podemos encontrar
em função de
e
.
Passo 9
Após resolver a equação quadrática, obteremos a relação entre
e
que define os pontos que estão cientes da existência da carga no tempo
. Essa relação geralmente representa uma hipérbole, indicando que apenas pontos alinhados de certa forma com a trajetória da carga recebem a informação a tempo.
Resposta
Os pontos no espaço que, no instante
, estão cientes da existência da carga
são aqueles que satisfazem a equação da hipérbole derivada acima. Ou seja, valores de
que obedecem à equação resultante após resolver a condição de propagação da informação à velocidade da luz. Em termos práticos, esses pontos formam uma hipérbole no espaço-tempo, refletindo os limites da causalidade estabelecidos pela velocidade da luz.