Considere uma carga pontual q em movimento hiperbólico no eixo x: w(t)=raizb^2+c^2 t^2 x ( b é constante, c é velocidade da luz e -infty.
(a) No tempo t, quais pontos do espaço estão cientes da existência da carga?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma carga pontual que está se movendo de forma hiperbólica ao longo do eixo , com a posição dada por , onde é uma constante e é a velocidade da luz. O que a gente precisa descobrir é: no instante , quais pontos no espaço já sabem que a carga existe. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Eletrodinâmica, especificamente sobre como as informações (como a existência da carga) se propagam no espaço à velocidade da luz.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que as informações sobre a posição da carga não são instantâneas. Elas viajam na velocidade da luz . Isso significa que, para um ponto no espaço “saber” onde está a carga em um certo tempo , deve ter recebido a informação enviada pela carga em um tempo anterior.

Passo 3

Vamos definir o tempo retardado | x - w(tr) | = c (t - tr) , que é o tempo em que a carga emitiu a informação que chegou ao ponto em questão exatamente no tempo . A relação entre a posição da carga no tempo e a posição do ponto no espaço é dada por:
Aqui, representa a distância entre a posição da carga no tempo e o ponto .

Passo 4

Substituindo |x - raizb^2 + c^2 tr^2| = c (t - tr) na equação, temos:
Essa equação relaciona e . Nosso objetivo é encontrar quais valores de satisfazem essa condição para um dado .

Passo 5

Vamos reescrever a equação para facilitar:
|x - raizb^2 + c^2 tr^2|^2 = c^2 (t - tr)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado elimina o valor absoluto:
(x - raizb^2 + c^2 tr^2)^2 = c^2 (t - tr)^2

Passo 6

Expandindo o lado esquerdo:
x^2 - 2xraizb^2 + c^2 tr^2 + b^2 + c^2 tr^2 = c^2 (t^2 - 2t tr + tr^2)
Simplificando:
x^2 - 2xraizb^2 + c^2 tr^2 + b^2 = c^2 t^2 - 2c^2 t tr

Passo 7

Vamos isolar a raiz quadrada:
2xraizb^2 + c^2 tr^2 = x^2 + b^2 - c^2 t^2 + 2c^2 t tr
Dividindo ambos os lados por raizb^2 + c^2 tr^2 = x^2 + b^2 - c^2 t^2 + 2c^2 t tr2x :

Passo 8

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
b^2 + c^2 tr^2 = ( x^2 + b^2 - c^2 t^2 + 2c^2 t tr2x )^2
Isso nos leva a uma equação quadrática em termos de . Resolvendo essa equação, podemos encontrar em função de e .

Passo 9

Após resolver a equação quadrática, obteremos a relação entre e que define os pontos que estão cientes da existência da carga no tempo . Essa relação geralmente representa uma hipérbole, indicando que apenas pontos alinhados de certa forma com a trajetória da carga recebem a informação a tempo.

Resposta

Os pontos no espaço que, no instante , estão cientes da existência da carga são aqueles que satisfazem a equação da hipérbole derivada acima. Ou seja, valores de que obedecem à equação resultante após resolver a condição de propagação da informação à velocidade da luz. Em termos práticos, esses pontos formam uma hipérbole no espaço-tempo, refletindo os limites da causalidade estabelecidos pela velocidade da luz.

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