Determinar o vetor a de módulo 4, sabendo que é ortogonal ao eixo O y e ao vetor v=i-3 k, e forma um ângulo obtuso com o vetor i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor a que tem módulo 4. Esse vetor precisa ser ortogonal ao eixo Oy e ao vetor v = i - 3k. Além disso, ele deve formar um ângulo obtuso com o vetor i. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como ortogonalidade, produtos escalares e cálculo de ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, como a é ortogonal ao eixo Oy, isso significa que a componente do vetor a na direção de y é zero. Então, podemos escrever a assim:
a = ax i + 0 j + az k
Ou simplificando:
a = ax i + az k

Passo 3

Agora, a também é ortogonal ao vetor v = i - 3k. Quando dois vetores são ortogonais, o produto escalar deles é zero. Vamos calcular o produto escalar:
a cdot v = (ax i + az k) cdot (i - 3k) = ax cdot 1 + az cdot (-3) = ax - 3az = 0
Assim, temos a equação:
ax - 3az = 0 Rightarrow ax = 3az

Passo 4

Além disso, a forma um ângulo obtuso com i. Isso significa que o ângulo entre eles é maior que 90 graus. No caso dos vetores, se o produto escalar for negativo, o ângulo é obtuso. Vamos calcular o produto escalar:
a cdot i = ax cdot 1 + az cdot 0 = ax
Para que o ângulo seja obtuso:
ax < 0

Passo 5

Sabemos também que o módulo de a é 4. O módulo de um vetor é dado por:
|a| = raizax^2 + az^2 = 4
Vamos substituir ax por 3az na equação:
raiz(3az)^2 + az^2 = 4 raiz9az^2 + az^2 = 4 raiz10az^2 = 4 raiz10 |az| = 4 |az| = 4raiz10 az = -4raiz10 (pois ax < 0 e ax = 3az)

Passo 6

Agora que temos az, podemos encontrar ax:
ax = 3az = 3 (-4raiz10) = -12raiz10

Resposta

O vetor a é dado por:
a = -dfrac12raiz10 , i - dfrac4raiz10 , k

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