Determinar o vetor v, paralelo ao vetor u=(1,-1,2), tal que v cdot u=-18.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um vetor v que seja paralelo ao vetor u = (1, -1, 2) e que, quando fizermos o produto escalar ( v cdot u), o resultado seja igual a -18. A gente vai usar conceitos de vetores paralelos e produto escalar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são paralelos se um for um múltiplo do outro. Ou seja, podemos escrever v como v = k cdot u, onde k é um número real (escalar) que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar de v com u. Substituindo v por k cdot u, temos:
v cdot u = (k cdot u) cdot u

Passo 4

O produto escalar de um vetor com ele mesmo é igual ao quadrado da sua magnitude. Então:
u cdot u = 1^2 + (-1)^2 + 2^2 = 1 + 1 + 4 = 6
Portanto:
v cdot u = k cdot 6

Passo 5

Segundo o enunciado, esse produto escalar deve ser igual a -18. Então, temos:
k cdot 6 = -18
Resolvendo para k:
k = -186 = -3

Passo 6

Agora que encontramos k = -3, podemos substituir de volta para encontrar v:
v = -3 cdot u = -3 cdot (1, -1, 2) = (-3, 3, -6)

Resposta

O vetor v é (-3, 3, -6).

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