Verifique se os seguintes conjuntos são ou .
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Passo 1
Então, a gente tem cinco conjuntos diferentes e precisa descobrir se cada um deles é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre combinações lineares e dependência linear. Vamos precisar montar sistemas de equações para cada conjunto e ver se só a solução trivial (todas as variáveis iguais a zero) existe.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro conjunto, . Precisamos ver se existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero, além da combinação trivial.
Passo 3
Montamos a combinação linear: . Isso dá as equações:
Resolvendo:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda: → → .
Passo 4
Agora vamos para o segundo conjunto, . Precisamos verificar a independência linear desses três vetores em três dimensões.
Passo 5
Montamos a combinação linear: . Isso gera:
Observamos que a segunda equação é o dobro da primeira, então elas são dependentes. Resolvendo as outras equações, encontramos uma solução não trivial.
Passo 6
Vamos para o terceiro conjunto, . Precisamos verificar se esses três vetores são independentes ou não.
Passo 7
Montamos a combinação linear: a + b + c = 0 a = 0 a + b + 2c = 0 . Isso dá:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, . Na terceira, . Substituindo , temos . Então, e .
Passo 8
Passando para o quarto conjunto, . Queremos saber se esses polinômios são linearmente independentes.
Passo 9
Montamos a combinação linear: a x^4 + b x^3 + c x^2 + (a - b)x + (-a + b - c) = 0 . Isso resulta em:
a = 0 b = 0 c = 0 a - b = 0 -a + b - c = 0
Para ser igual a zero para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
A única solução é .
Passo 10
Por último, temos . Vamos verificar a independência linear desses quatro polinômios.
Passo 11
Montamos a combinação linear: 2a x + b x^2 + b + c x + c + d x^2 - d = 0 . Expandindo:
(b + d)x^2 + (2a + c)x + (b + c - d) = 0
Agrupando termos similares:
b + d = 0 2a + c = 0 b + c - d = 0
Então:
Da primeira equação, . Substituindo na terceira: . Da segunda equação, . Substituindo na terceira equação: → . Então, e .
Isso mostra que há infinitas soluções (não apenas a trivial), então os vetores são dependentes.