Verifique se os seguintes conjuntos são L I ou L D.
a) W1=(1,3),(2,-1) subset R^2.
b) W2=(1,2,1),(2,4,2),(5,10,15) subset R^3.
c) W3=(1,1,1),(1,0,1),(1,0,2) subset R^3.
d) W4=x^4+x-1, x^3-x+1, x^2-1 subset P4(R).
e) W5=2 x, x^2+1, x+1, x^2-1 subset P4(R).

Passo 1

Então, a gente tem cinco conjuntos diferentes e precisa descobrir se cada um deles é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre combinações lineares e dependência linear. Vamos precisar montar sistemas de equações para cada conjunto e ver se só a solução trivial (todas as variáveis iguais a zero) existe.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro conjunto, . Precisamos ver se existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero, além da combinação trivial.

Passo 3

Montamos a combinação linear: a + 2b = 0 3a - b = 0 . Isso dá as equações:
Resolvendo:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
.

Passo 4

Agora vamos para o segundo conjunto, . Precisamos verificar a independência linear desses três vetores em três dimensões.

Passo 5

Montamos a combinação linear: a + 2b + 5c = 0 2a + 4b + 10c = 0 a + 2b + 15c = 0 . Isso gera:
Observamos que a segunda equação é o dobro da primeira, então elas são dependentes. Resolvendo as outras equações, encontramos uma solução não trivial.

Passo 6

Vamos para o terceiro conjunto, . Precisamos verificar se esses três vetores são independentes ou não.

Passo 7

Montamos a combinação linear: a + b + c = 0 a = 0 a + b + 2c = 0 . Isso dá:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, . Na terceira, . Substituindo , temos . Então, e .

Passo 8

Passando para o quarto conjunto, . Queremos saber se esses polinômios são linearmente independentes.

Passo 9

Montamos a combinação linear: a x^4 + b x^3 + c x^2 + (a - b)x + (-a + b - c) = 0 . Isso resulta em:
a = 0 b = 0 c = 0 a - b = 0 -a + b - c = 0
Para ser igual a zero para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
A única solução é .

Passo 10

Por último, temos . Vamos verificar a independência linear desses quatro polinômios.

Passo 11

Montamos a combinação linear: 2a x + b x^2 + b + c x + c + d x^2 - d = 0 . Expandindo:
(b + d)x^2 + (2a + c)x + (b + c - d) = 0
Agrupando termos similares:
b + d = 0 2a + c = 0 b + c - d = 0
Então:
Da primeira equação, . Substituindo na terceira: . Da segunda equação, . Substituindo na terceira equação: . Então, e .
Isso mostra que há infinitas soluções (não apenas a trivial), então os vetores são dependentes.

Resposta

e) é Linearmente Dependente (LD).

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