Considere a transformação linear
associada à matriz
Interprete geometricamente esta transformação.
Interprete geometricamente esta transformação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear
representada pela matriz
O objetivo aqui é entender o que essa transformação faz geometricamente. Para isso, vamos precisar saber o que são transformações lineares e como interpretar matrizes que as representam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que pega vetores de um espaço e os transforma em vetores de outro espaço, respeitando duas propriedades: adição e multiplicação por escalar. Aqui, estamos trabalhando no plano 2D (
).
Passo 3
Agora, a gente tem uma matriz que representa essa transformação:
Cada coluna dessa matriz representa como os vetores da base padrão são transformados. A primeira coluna é a imagem de
e a segunda coluna é a imagem de
.
Passo 4
Vamos ver o que acontece com os vetores da base:
- Transformando
:
Isso significa que o vetor
é rotacionado pelo ângulo
.
- Transformando
:
Aqui, o vetor
é mapeado para o vetor nulo, ou seja, ele é “apagar”.
Passo 5
Com base nisso, podemos interpretar a transformação geométrica. A matriz está fazendo duas coisas:
- Rotacionando o vetor
pelo ângulo . - Enxugando o vetor
para zero.
Isso significa que a transformação está projetando todo o espaço ao longo do eixo y na direção do novo eixo que foi rotacionado.
Passo 6
Mais especificamente, qualquer vetor
será transformado da seguinte forma:
Ou seja, a componente y original não tem efeito na transformação final. Isso reforça que a transformação está “apagando” o eixo y e alinhando tudo ao eixo rotacionado.
Resposta
Geometricamente, a transformação
rotaciona todos os vetores do plano pelo ângulo
em torno da origem e projeta esses vetores sobre a direção do novo eixo x rotacionado. Basicamente, ela gira o plano e “achata” todos os vetores na direção do eixo x rotacionado.