Considere a transformação linear T: R^2 longmapsto R^2 associada à matriz [cccos theta & 0 sin theta & 0]
Interprete geometricamente esta transformação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear cos theta & 0 sin theta & 0 representada pela matriz
O objetivo aqui é entender o que essa transformação faz geometricamente. Para isso, vamos precisar saber o que são transformações lineares e como interpretar matrizes que as representam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que pega vetores de um espaço e os transforma em vetores de outro espaço, respeitando duas propriedades: adição e multiplicação por escalar. Aqui, estamos trabalhando no plano 2D ( ).

Passo 3

Agora, a gente tem uma matriz que representa essa transformação:
cos theta & 0 sin theta & 0
Cada coluna dessa matriz representa como os vetores da base padrão são transformados. A primeira coluna é a imagem de 1 0 e a segunda coluna é a imagem de 0 1.

Passo 4

Vamos ver o que acontece com os vetores da base:
  1. Transformando 1 0:
T(1 0) = cos theta sin theta
Isso significa que o vetor 1 0 é rotacionado pelo ângulo 0 1.
  1. Transformando T(0 1) = 0 0 :
0 1
Aqui, o vetor é mapeado para o vetor nulo, ou seja, ele é “apagar”.

Passo 5

Com base nisso, podemos interpretar a transformação geométrica. A matriz está fazendo duas coisas:
  1. Rotacionando o vetor 1 0 pelo ângulo 0 1.
  2. Enxugando o vetor para zero.
Isso significa que a transformação está projetando todo o espaço ao longo do eixo y na direção do novo eixo que foi rotacionado.

Passo 6

Mais especificamente, qualquer vetor x y será transformado da seguinte forma:
T(x y) = x cos theta sin theta + y 0 0 = x cos theta x sin theta
Ou seja, a componente y original não tem efeito na transformação final. Isso reforça que a transformação está “apagando” o eixo y e alinhando tudo ao eixo rotacionado.

Resposta

Geometricamente, a transformação rotaciona todos os vetores do plano pelo ângulo em torno da origem e projeta esses vetores sobre a direção do novo eixo x rotacionado. Basicamente, ela gira o plano e “achata” todos os vetores na direção do eixo x rotacionado.

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