Considere no os seguintes subespaços vetoriais: e
Determine um sistema de geradores de .
Passo 1
Vamos lá! O exercício nos pede para encontrar um sistema de geradores para a interseção dos subespaços vetoriais e em . Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com subespaços e suas interseções. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores em e e depois descobrir quais vetores estão em ambos os subespaços ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever uma expressão geral para qualquer vetor em . Sabemos que é gerado pelos vetores e . Então, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores:
onde e são escalares.
Passo 3
Da mesma forma, vamos escrever uma expressão geral para qualquer vetor em . é gerado pelos vetores e . Portanto, qualquer vetor em pode ser escrito como:
onde e são escalares.
Passo 4
Para encontrar a interseção , precisamos que os vetores e sejam iguais, ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema, da primeira equação temos u = (-b + b, b, b) = (0, b, b) . Da segunda e terceira equações, percebemos que e . Então, todos os vetores na interseção são da forma:
Isso significa que a interseção é formada por vetores que têm a primeira coordenada zero e as outras duas iguais.
Passo 6
Podemos fatorar u = b(0, 1, 1) para escrever o vetor de forma mais clara:
Isso mostra que todos os vetores na interseção são múltiplos do vetor .