Considere no R^3 os seguintes subespaços vetoriais:
U=[(1,0,0),(1,1,1)] e V=[(0,1,0),(0,0,1)]
Determine um sistema de geradores de U cap V.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos pede para encontrar um sistema de geradores para a interseção dos subespaços vetoriais e em . Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com subespaços e suas interseções. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores em e e depois descobrir quais vetores estão em ambos os subespaços ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever uma expressão geral para qualquer vetor em u = a(1,0,0) + b(1,1,1) = (a + b, b, b) . Sabemos que é gerado pelos vetores e . Então, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores:
onde e são escalares.

Passo 3

Da mesma forma, vamos escrever uma expressão geral para qualquer vetor em v = c(0,1,0) + d(0,0,1) = (0, c, d) . é gerado pelos vetores e . Portanto, qualquer vetor em pode ser escrito como:
onde e são escalares.

Passo 4

Para encontrar a interseção (a + b, b, b) = (0, c, d) , precisamos que os vetores a + b = 0 b = c b = d e sejam iguais, ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema, da primeira equação temos u = (-b + b, b, b) = (0, b, b) . Da segunda e terceira equações, percebemos que e . Então, todos os vetores na interseção são da forma:
Isso significa que a interseção é formada por vetores que têm a primeira coordenada zero e as outras duas iguais.

Passo 6

Podemos fatorar u = b(0, 1, 1) para escrever o vetor de forma mais clara:
Isso mostra que todos os vetores na interseção são múltiplos do vetor .

Resposta

Um sistema de geradores para é .

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