Determinar o vetor projeção do vetor u=(1,2,-3) na direção de v=(2,1,-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a projeção do vetor $ \mathbf{u} = (1, 2, -3) $ na direção do vetor $ \mathbf{v} = (2, 1, -2) $. Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e projeção de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor $ \mathbf{u} $ na direção de um vetor $ \mathbf{v} $. A fórmula da projeção é:
u
Aqui, $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} $ é o produto escalar dos vetores $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $, e $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} $ é o produto escalar de $ \mathbf{v} $ consigo mesmo, que também representa o quadrado do módulo de $ \mathbf{v} $.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} $:
u cdot v

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} $:
v cdot v

Passo 5

Com os valores dos produtos escalares, podemos agora calcular a projeção:
projv(u) = ( 109 ) v = 109 times (2, 1, -2) = ( 209, 109, -209 )

Resposta

A projeção do vetor $ \mathbf{u} = (1, 2, -3) $ na direção de $ \mathbf{v} = (2, 1, -2) $ é:
u = (1, 2, -3)

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