Determinar o vetor v ortogonal ao vetor u=(2,-3,-12) e colinear ao vetor w=(-6,4,-2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um vetor v que seja ortogonal ao vetor u = (2, -3, -12) e que seja colinear ao vetor w = (-6, 4, -2). Vamos usar conceitos de vetores, especificamente de ortogonalidade e colinearidade, para resolver isso. Precisaremos entender o que significa dois vetores serem ortogonais e colineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é ortogonalidade. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou escalar) entre eles for zero. Então, para v ser ortogonal a u, devemos ter:
u cdot v = 0

Passo 3

Agora, sobre colinearidade. Dois vetores são colineares se um for um múltiplo escalar do outro. Ou seja, se existe um número k tal que:
v = k cdot w

Passo 4

Vamos combinar as duas condições. Substituindo v por k cdot w na equação da ortogonalidade:
u cdot (k cdot w) = 0
Isso pode ser reescrito como:
k cdot (u cdot w) = 0

Passo 5

Para que isso seja verdade, ou k = 0 ou u cdot w = 0. Se k = 0, então v = 0, que é o vetor nulo. Porém, queremos um vetor não nulo. Portanto, precisamos que:
u cdot w = 0

Passo 6

Vamos calcular o produto interno u cdot w:
u cdot w = (2)(-6) + (-3)(4) + (-12)(-2) = -12 -12 +24 = 0

Passo 7

Como u cdot w = 0, qualquer múltiplo escalar de w será ortogonal a u. Portanto, v pode ser qualquer vetor colinear a w.

Resposta

Um vetor v que satisfaz as condições é qualquer múltiplo de w = (-6, 4, -2). Por exemplo:
v = (-6, 4, -2)

Exercícios relacionados