Determinar o vetor
ortogonal ao vetor
e colinear ao vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um vetor
que seja ortogonal ao vetor
e que seja colinear ao vetor
. Vamos usar conceitos de vetores, especificamente de ortogonalidade e colinearidade, para resolver isso. Precisaremos entender o que significa dois vetores serem ortogonais e colineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é ortogonalidade. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou escalar) entre eles for zero. Então, para
ser ortogonal a
, devemos ter:
Passo 3
Agora, sobre colinearidade. Dois vetores são colineares se um for um múltiplo escalar do outro. Ou seja, se existe um número
tal que:
Passo 4
Vamos combinar as duas condições. Substituindo
por
na equação da ortogonalidade:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Para que isso seja verdade, ou
ou
. Se
, então
, que é o vetor nulo. Porém, queremos um vetor não nulo. Portanto, precisamos que:
Passo 6
Vamos calcular o produto interno
:
Passo 7
Como
, qualquer múltiplo escalar de
será ortogonal a
. Portanto,
pode ser qualquer vetor colinear a
.
Resposta
Um vetor
que satisfaz as condições é qualquer múltiplo de
. Por exemplo: