Mostre que beta=(1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1) é uma base do R^3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. O enunciado nos dá três vetores no espaço tridimensional R^3 e pede para mostrar que eles formam uma base desse espaço. Isso envolve conceitos de bases e independência linear em álgebra linear. Vamos precisar verificar se esses vetores são linearmente independentes e se eles conseguem “preencher” todo o espaço R^3.

Passo 2

Para confirmar que os vetores da base beta = (1,1,1), (1,2,3), (2,-1,1) são linearmente independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base do R^3.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores de beta como colunas:
A = 1 & 1 & 2 1 & 2 & -1 1 & 3 & 1

Passo 4

Agora, calculamos o determinante da matriz A. O determinante de uma matriz 3 times 3 é calculado da seguinte forma:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde os elementos da matriz são:
A = a & b & c d & e & f g & h & i

Passo 5

Substituindo os valores da nossa matriz A:
det(A) = 1 cdot (2 cdot 1 - (-1) cdot 3) - 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 1) + 2 cdot (1 cdot 3 - 2 cdot 1)

Passo 6

Realizando os cálculos dentro dos parênteses:
det(A) = 1 cdot (2 + 3) - 1 cdot (1 + 1) + 2 cdot (3 - 2) = 1 cdot 5 - 1 cdot 2 + 2 cdot 1

Passo 7

Agora, somamos os resultados:
det(A) = 5 - 2 + 2 = 5

Resposta

Como o determinante de A é diferente de zero ( det(A) = 5 neq 0), os vetores em beta são linearmente independentes e, portanto, formam uma base do R^3.

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