Justifique as seguintes afirmações: a composição de 3024 reflexões no plano é uma rotação no plano. A composição de 4203 reflexões no plano não é uma rotação no plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para justificar duas afirmações sobre composições de reflexões no plano e se elas resultam em rotações ou não. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouquinho sobre transformações geométricas, especialmente reflexões e rotações, e como elas se comportam quando a gente combina várias delas. Vamos precisar saber também como a quantidade de reflexões influenciar nesse resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre reflexão no plano. Refletir um ponto no plano significa “espelhar” esse ponto em relação a uma reta específica chamada eixo de reflexão. Matemáticamente, uma reflexão é uma transformação que inverte a posição de um ponto em relação a essa reta.
Uma coisa importante de lembrar é que uma reflexão é uma transformação do tipo isometria, ou seja, ela preserva distâncias e ângulos. Além disso, uma reflexão é uma transformação linear e ortogonal, e pode ser representada por uma matriz.

Passo 3

Agora, quando a gente compõe duas reflexões, ou seja, aplica uma reflexão após a outra, o resultado dessa composição pode ser uma rotação ou uma translação, dependendo das condições.
Mais especificamente:
  • Composição de duas reflexões: Se as duas retas de reflexão se interceptam formando um ângulo θ, então a composição dessas duas reflexões é uma rotação em torno do ponto de interseção das retas, e o ângulo dessa rotação é .
  • Composição de um número par de reflexões: Sempre resulta em uma rotação se o número de reflexões for par.
  • Composição de um número ímpar de reflexões: Resulta em uma reflexão, pois sobra uma reflexão não cancelada.

Passo 4

Vamos aplicar isso ao nosso problema:
  1. Composição de 3024 reflexões:
    • 3024 é um número par.
    • Segundo a teoria, a composição de um número par de reflexões no plano resulta em uma rotação.
  2. Composição de 4203 reflexões:
    • 4203 é um número ímpar.
    • Segundo a teoria, a composição de um número ímpar de reflexões no plano resulta em uma reflexão, e não em uma rotação.

Passo 5

Portanto, com base na quantidade de reflexões e nas propriedades das composições de reflexões:
  • 3024 reflexões: Como é um número par, a composição resulta em uma rotação no plano.
  • 4203 reflexões: Como é um número ímpar, a composição não resulta em uma rotação, mas sim em uma reflexão.

Resposta

A composição de 3024 reflexões no plano é uma rotação porque 3024 é um número par, e a composição de um número par de reflexões resulta em uma rotação. Já a composição de 4203 reflexões não é uma rotação porque 4203 é ímpar, fazendo com que a composição de um número ímpar de reflexões resulte em uma reflexão, não em uma rotação.

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