Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies
z=0, z^2=x^2+y^2 e x^2+y^2=2 a x Resp: 32 a^39

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume de um sólido limitado pelas superfícies , e . Para isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente coordenadas polares, já que as equações envolvem círculos e cones. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração nessas coordenadas para calcular o volume corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as superfícies que delimitam o sólido:
  1. x^2 + y^2 = 2a x : Isso representa o plano x^2 - 2a x + y^2 = 0 , ou seja, a base do sólido.
  2. (x - a)^2 + y^2 = a^2 : Essa é a equação de um cone circular reto, já que está relacionado com e de forma quadrática.
  3. : Essa equação descreve um círculo no plano . Podemos reescrever essa equação para facilitar a visualização.
Vamos reescrever a equação do círculo:
Subtraindo de ambos os lados:
Completando o quadrado para :
Isso mostra que o círculo tem centro em e raio .

Passo 3

Agora, como estamos lidando com simetria circular, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares, onde z^2 = r^2 e z = r . Vamos reescrever as equações no sistema polar:
  1. Equação do cone:
r^2 = 2a r cos theta
r = 2a cos theta (considerando já que é a base)
  1. Equação do círculo:
Dividindo ambos os lados por (considerando ):

Passo 4

Para encontrar o volume, precisamos determinar os limites de integração para , e .
  • : O círculo está centrado em . Em coordenadas polares, isso significa que varia de a , pois o círculo está à direita do eixo .
  • : Para um dado , varia de 0 até .
  • : Para cada ponto , varia de 0 até (a partir do cone).

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume V = integraltheta = -pi2^pi2 integralr = 0^2a cos theta integralz = 0^r r , dz , dr , dtheta :
Aqui, o termo extra vem do elemento de área em coordenadas polares.

Passo 6

Vamos integrar em ordem integral0^r dz = r , integral0^2a cos theta r cdot r , dr = integral0^2a cos theta r^2 , dr = [ r^33 ]0^2a cos theta = (2a cos theta)^33 = 8a^3 cos^3 theta3 e depois integral-pi2^pi2 8a^3 cos^3 theta3 , dtheta = 8a^33 integral-pi2^pi2 cos^3 theta , dtheta :
  1. Integral em integral cos^3 theta , dtheta = cos^2 theta sin theta3 + 23 integral cos theta , dtheta :
8a^33 cdot 43 = 32a^39
  1. Integral em :
  1. Integral em :
Sabemos que:
Aplicando os limites, a integral resulta em:

Resposta

O volume do sólido é .

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