Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume de um sólido limitado pelas superfícies
,
e
. Para isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente coordenadas polares, já que as equações envolvem círculos e cones. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração nessas coordenadas para calcular o volume corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as superfícies que delimitam o sólido:
-
: Isso representa o plano , ou seja, a base do sólido. -
: Essa é a equação de um cone circular reto, já que está relacionado com e de forma quadrática. -
: Essa equação descreve um círculo no plano . Podemos reescrever essa equação para facilitar a visualização.
Vamos reescrever a equação do círculo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Completando o quadrado para
:
Isso mostra que o círculo tem centro em
e raio
.
Passo 3
Agora, como estamos lidando com simetria circular, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares, onde
e
. Vamos reescrever as equações no sistema polar:
- Equação do cone:
- Equação do círculo:
Dividindo ambos os lados por
(considerando
):
Passo 4
Para encontrar o volume, precisamos determinar os limites de integração para
,
e
.
-
: O círculo está centrado em . Em coordenadas polares, isso significa que varia de a , pois o círculo está à direita do eixo . -
: Para um dado , varia de 0 até . -
: Para cada ponto , varia de 0 até (a partir do cone).
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume
:
Aqui, o termo extra
vem do elemento de área em coordenadas polares.
Passo 6
Vamos integrar em ordem
,
e depois
:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Sabemos que:
Aplicando os limites, a integral resulta em:
Resposta
O volume do sólido é
.