A Rádio Transamérica transite sua programação em frequência de 100,1 MHz, a partir de um transmissor FM de 90 kW de potência. (a) Supondo que o campo magnético da onda eletromagnética é igual a 4,82 times 10^-8 T à distância r do transmissor, determine r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que uma rádio transmite em uma frequência de com uma potência de . Além disso, sabemos que o campo magnético da onda eletromagnética a uma certa distância do transmissor é . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é essa distância .
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de ondas eletromagnéticas que relacionam potência, campo magnético e distância. Vamos passo a passo entender essas relações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a potência total irradiada por uma onda eletromagnética (como a de uma rádio) se distribui uniformemente numa esfera ao redor do transmissor. A fórmula para a potência P = S cdot A é dada por:
Onde:
  • é a densidade de potência (também conhecida como intensidade da onda).
  • é a área da superfície da esfera, que é para uma esfera de raio .
Queremos encontrar a distância , então vamos isolar na equação.

Passo 3

A densidade de potência S = E cdot Bmu0 está relacionada ao campo elétrico E = c cdot B e ao campo magnético pela fórmula:
Onde é a permeabilidade do vácuo, cujo valor é .
Mas também sabemos que, para ondas eletromagnéticas, os campos elétrico e magnético estão relacionados por:
Onde é a velocidade da luz no vácuo, aproximadamente .
Vamos usar essas relações para expressar somente em termos de .

Passo 4

Substituindo S = (c cdot B) cdot Bmu0 = c cdot B^2mu0 na fórmula de P = S cdot A = c cdot B^2mu0 cdot 4pi r^2 :
Agora temos em termos de . Vamos voltar à equação da potência:
Nosso objetivo é achar , então vamos rearranjar essa equação para isolá-lo.

Passo 5

Vamos isolar P = c cdot B^2mu0 cdot 4pi r^2 Rightarrow r^2 = P cdot mu04pi c cdot B^2 na equação:
Agora, basta realizar os cálculos substituindo todos os valores conhecidos na equação.

Passo 6

Vamos substituir os valores:
P = 90 , kW = 90 times 10^3 , W mu0 = 4pi times 10^-7 , T·m/A c = 3 times 10^8 , m/s B = 4,82 times 10^-8 , T
Substituindo na equação de r^2 = 90 times 10^3 times 4pi times 10^-74pi times 3 times 10^8 times (4,82 times 10^-8)^2 :

Passo 7

Simplificando a expressão:
Primeiro, cancelamos r^2 = 90 times 10^3 times 10^-73 times 10^8 times (4,82 times 10^-8)^2 no numerador e denominador:
(4,82 times 10^-8)^2 = 23,23 times 10^-16 , T^2
Calculando r^2 = 90 times 10^-43 times 10^8 times 23,23 times 10^-16 = 90 times 10^-469,69 times 10^-8 = 9069,69 times 10^4 :
r^2 approx 1,291 times 10^4 , m^2
Substituindo de volta:

Passo 8

Agora, para encontrar r = raiz1,291 times 10^4 approx 113,63 , m , tiramos a raiz quadrada de :

Resposta

A distância do transmissor onde o campo magnético é é aproximadamente .

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