Demonstrar o teorema dos cascas esféricas, para força elétrica, com contas explicadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para demonstrar o Teorema das Cascas Esféricas aplicado à força elétrica. Esse teorema faz parte do estudo de Eletrostática, que trata das interações entre cargas elétricas em repouso. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como Campo Elétrico, Lei de Coulomb e a Lei de Gauss. Vamos passo a passo para ficar bem tranquilo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma casca esférica. Imagine uma esfera oca, como uma bolinha de gude, com uma carga elétrica distribuída uniformemente na sua superfície. Nosso objetivo é descobrir como essa distribuição de carga afeta o campo elétrico ao redor e dentro da casca.
Passo 3
A ferramenta que vamos usar para essa demonstração é a Lei de Gauss, que é extremamente útil para calcular campos elétricos com simetria específica, como a esférica. A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante eletrostática
:
Passo 4
Vamos considerar dois casos:
- Ponto fora da casca (
): Queremos encontrar o campo elétrico a uma distância do centro da casca. - Ponto dentro da casca (
): Queremos encontrar o campo elétrico dentro da casca.
Onde
é o raio da casca esférica e
é a carga total distribuída na superfície.
Passo 5
Caso 1:
Aqui, a carga total
está completamente dentro da superfície gaussiana que estamos considerando (uma esfera de raio
). Pela simetria esférica, o campo elétrico
tem a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e é radial. Portanto, a integral do fluxo elétrico simplifica para:
Resolvendo para
:
Esse resultado mostra que fora da casca, o campo elétrico é o mesmo que se toda a carga
estivesse concentrada no centro da esfera.
Passo 6
Caso 2:
Neste caso, estamos interessados no campo elétrico dentro da casca oca. A quantidade de carga dentro da superfície gaussiana agora é zero, porque toda a carga está na superfície da casca, e nada está no interior.
Aplicando a Lei de Gauss:
Isso implica que
. Ou seja, dentro da casca esférica oca, o campo elétrico é nulo.
Passo 7
Resumo da Demonstração:
- Para
: O campo elétrico é , semelhante ao de uma carga pontual no centro. - Para
: O campo elétrico é zero, não há força elétrica atuando no interior da casca.
Resposta
Aplicando o Teorema das Cascas Esféricas, demonstramos que o campo elétrico fora da casca (
) é dado por
e dentro da casca (
) o campo elétrico é zero.
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Calcular
, sendo T a região do espaço delimitada pelos planos
e pelo cilindro parabólico
. Resp
A Rádio Transamérica transite sua programação em frequência de
, a partir de um transmissor FM de 90 kW de potência. (a) Supondo que o campo magnético da onda eletromagnética é igual a
à distância
do transmissor, determine
.
A Rádio Transamérica transite sua programação em frequência de
, a partir de um transmissor FM de 90 kW de potência. (b) Calcule a força exercida pela radiação sobre uma partícula totalmente refletora, de diâmetro
e que se encontra à distância
do transmissor.