Se d 1=3 i-2 j+4 k e d 2=-5 i+2 j-k, determine (d 1+d 2) cdot(d 1 times 4 d 2)[R: 0]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A questão nos dá dois vetores:
d1 = 3 i - 2 j + 4 k
d2 = -5 i + 2 j - k
E pede para determinarmos o valor de . Vamos usar conceitos de adição de vetores, produto escalar e produto vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos somar os dois vetores d1 + d2 = (3 - 5)i + (-2 + 2)j + (4 - 1)k = -2i + 0j + 3k e d1 + d2 = -2i + 3k . A soma de vetores é feita somando componente por componente:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular 4d2 = 4(-5i + 2j - k) = -20i + 8j - 4k . Multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente por esse número:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o produto vetorial A times B = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k . O produto vetorial de dois vetores d1 = 3i - 2j + 4k e 4d2 = -20i + 8j - 4k é dado por:
i: (-2)(-4) - (4)(8) = 8 - 32 = -24
Aplicando isso aos nossos vetores:
j: -(3(-4) - 4(-20)) = -(-12 + 80) = -68
k: (3 cdot 8) - (-2)(-20) = 24 - 40 = -16
Calculando cada componente:
d1 times 4d2 = -24i -68j -16k
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar entre A cdot B = a1b1 + a2b2 + a3b3 e d1 + d2 = -2i + 3k . O produto escalar de dois vetores d1 times 4d2 = -24i -68j -16k e (-2)(-24) + (0)(-68) + (3)(-16) = 48 + 0 - 48 = 0 é:
Aplicando aos nossos vetores:
Calculando cada termo:

Resposta

O valor de é 0.

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