Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa.
23. Se cada seção transversal de
perpendicular ao eixo
for um quadrado, então
é um paralelepípedo retangular (ou seja, tem um formato de caixa).
24. Se cada seção transversal de
for um disco ou uma arruela, então
é um sólido de revolução.
25. Se
for dado em centímetros, então
deve ser uma função quadrática de
, pois as unidades de
serão centímetros quadrados.
26. O valor médio de
no intervalo
é dado por
.
23. Se cada seção transversal de
24. Se cada seção transversal de
25. Se
26. O valor médio de
Passo 1
Beleza, vamos resolver as afirmações 23 a 26 para ver se são verdadeiras ou falsas. A gente vai precisar entender conceitos de geometria espacial, como seções transversais, sólidos de revolução, funções quadráticas e calcular valores médios. Então, vamos analisar cada afirmação uma por uma!
Passo 2
Afirmação 23: Se cada seção transversal de
perpendicular ao eixo
for um quadrado, então
é um paralelepípedo retangular (ou seja, tem um formato de caixa).
Vamos pensar nisso. Um paralelepípedo retangular é como uma caixa com faces retangulares. Se todas as seções transversais perpendicular ao eixo
são quadrados, isso significa que a largura e a altura em qualquer ponto são iguais. Porém, para ser um paralelepípedo retangular, além dessas seções serem quadradas, também precisamos que o comprimento seja constante. Se as seções transversais variam de tamanho ao longo do eixo
,
não será um paralelepípedo retangular. Portanto, a afirmação não é necessariamente verdadeira.
Passo 3
Afirmação 24: Se cada seção transversal de
for um disco ou uma arruela, então
é um sólido de revolução.
Um sólido de revolução é gerado quando uma figura plana gira em torno de um eixo. Se as seções transversais são discos ou arruelas, isso sugere sim que o sólido pode ser obtido por rotação de um círculo (disco) ou de uma figura com um buraco central (arruela) em torno de algum eixo. Portanto, essa afirmativa faz sentido e é verdadeira.
Passo 4
Afirmação 25: Se
for dado em centímetros, então
deve ser uma função quadrática de
, pois as unidades de
serão centímetros quadrados.
Aqui,
representa uma área que depende de
. Se
está em centímetros, então a área realmente terá unidades de centímetros quadrados (
). Porém, isso não significa necessariamente que
tem que ser uma função quadrática. A relação entre
e
pode ser de qualquer tipo, dependendo do contexto. Por exemplo, a área pode crescer linearmente, exponencialmente, etc., com relação a
. Logo, a afirmativa é falsa.
Passo 5
Afirmação 26: O valor médio de
no intervalo
é dado por
.
O valor médio de uma função
no intervalo
é calculado pela integral de
de
a
dividida pelo comprimento do intervalo, ou seja:
Se
representa a integral de
de
a
, então sim,
dá o valor médio de
nesse intervalo. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta
- Falsa
- Verdadeira
- Falsa
- Verdadeira
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Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo
.
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8.
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10. .
[Sugestão: Use a identidade .]
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[Sugestão: Use a identidade
11.
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13.
14.
Para a função
faça o seguinte:
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
quando
;
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo
.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por
gira em torno da reta
.