Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo x.
7. y = raiz(25 - x^2), y = 3
8. y = 9 - x^2, y = 0
9. x = raiz(y), x = y / 4
10. y = sen(x), y = cos(x), x = 0, x = pi / 4.
[Sugestão: Use a identidade cos(2x) = cos^2(x) - sen^2(x).]
11. y=e^x, y=0, x=0, x=ln(3)
12. y = e^(-2 x), y = 0, x = 0, x = 1
13. y = 1 / raiz(4 + x^2), x = -2, x = 2, y = 0
14. y = (e^(3 x)) / raiz(1 + e^(6 x)), x = 0, x = 1, y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o volume do sólido formado quando a região delimitada pelas curvas e gira em torno do eixo . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo de Volumes por Revolução, usando o método dos discos ou das cascas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. A curva representa a parte superior de um círculo com raio 5, centrado na origem. Já é uma linha horizontal. Queremos a área entre essas duas curvas.

Passo 3

Para visualizar melhor, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, as curvas se intersectam em e .

Passo 4

Agora, vamos usar o Método dos Discos para encontrar o volume da rotação. A fórmula geral para o volume é:
Onde:
  • é a função externa (mais distante do eixo de rotação).
  • é a função interna (mais próxima do eixo de rotação).
  • e são os limites de integração.

Passo 5

No nosso caso, ao girar em torno do eixo :
  • (a curva do círculo).
  • (a linha horizontal).
Os limites de integração são de a .

Passo 6

Substituindo na fórmula:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 8

Finalmente, multiplicamos pelo para obter o volume:

Resposta

O volume do sólido formado é .

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