Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo .
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[Sugestão: Use a identidade .]
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Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o volume do sólido formado quando a região delimitada pelas curvas e gira em torno do eixo . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo de Volumes por Revolução, usando o método dos discos ou das cascas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. A curva representa a parte superior de um círculo com raio 5, centrado na origem. Já é uma linha horizontal. Queremos a área entre essas duas curvas.

Passo 3

Para visualizar melhor, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, as curvas se intersectam em e .

Passo 4

Agora, vamos usar o Método dos Discos para encontrar o volume da rotação. A fórmula geral para o volume é:
Onde:
  • é a função externa (mais distante do eixo de rotação).
  • é a função interna (mais próxima do eixo de rotação).
  • e são os limites de integração.

Passo 5

No nosso caso, ao girar em torno do eixo :
  • (a curva do círculo).
  • (a linha horizontal).
Os limites de integração são de a .

Passo 6

Substituindo na fórmula:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 8

Finalmente, multiplicamos pelo para obter o volume:

Resposta

O volume do sólido formado é .

Exercícios relacionados

Para a função faça o seguinte:
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de quando ;
Para a função faça o seguinte:
Determine a equação da reta normal ao gráfico de quando ;
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa.
23. Se cada seção transversal de perpendicular ao eixo for um quadrado, então é um paralelepípedo retangular (ou seja, tem um formato de caixa).
24. Se cada seção transversal de for um disco ou uma arruela, então é um sólido de revolução.
25. Se for dado em centímetros, então deve ser uma função quadrática de , pois as unidades de serão centímetros quadrados.
26. O valor médio de no intervalo é dado por .
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo .
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