Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo
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[Sugestão: Use a identidade
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[Sugestão: Use a identidade
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o volume do sólido formado quando a região delimitada pelas curvas
e
gira em torno do eixo
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo de Volumes por Revolução, usando o método dos discos ou das cascas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. A curva
representa a parte superior de um círculo com raio 5, centrado na origem. Já
é uma linha horizontal. Queremos a área entre essas duas curvas.
Passo 3
Para visualizar melhor, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, as curvas se intersectam em
e
.
Passo 4
Agora, vamos usar o Método dos Discos para encontrar o volume da rotação. A fórmula geral para o volume
é:
Onde:
-
é a função externa (mais distante do eixo de rotação). -
é a função interna (mais próxima do eixo de rotação). -
e são os limites de integração.
Passo 5
No nosso caso, ao girar em torno do eixo
:
-
(a curva do círculo). -
(a linha horizontal).
Os limites de integração são de
a
.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos pelo
para obter o volume:
Resposta
O volume do sólido formado é
.