Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo
.
7.
8.
9.
10.
.
[Sugestão: Use a identidade
.]
11.
12.
13.
14.
7.
8.
9.
10.
[Sugestão: Use a identidade
11.
12.
13.
14.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o volume do sólido formado quando a região delimitada pelas curvas
e
gira em torno do eixo
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo de Volumes por Revolução, usando o método dos discos ou das cascas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. A curva
representa a parte superior de um círculo com raio 5, centrado na origem. Já
é uma linha horizontal. Queremos a área entre essas duas curvas.
Passo 3
Para visualizar melhor, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, as curvas se intersectam em
e
.
Passo 4
Agora, vamos usar o Método dos Discos para encontrar o volume da rotação. A fórmula geral para o volume
é:
Onde:
-
é a função externa (mais distante do eixo de rotação). -
é a função interna (mais próxima do eixo de rotação). -
e são os limites de integração.
Passo 5
No nosso caso, ao girar em torno do eixo
:
-
(a curva do círculo). -
(a linha horizontal).
Os limites de integração são de
a
.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos pelo
para obter o volume:
Resposta
O volume do sólido formado é
.
Exercícios relacionados
Para a função
faça o seguinte:
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
quando
;
Para a função
faça o seguinte:
Determine a equação da reta normal ao gráfico de
quando
;
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa.
23. Se cada seção transversal de perpendicular ao eixo
for um quadrado, então
é um paralelepípedo retangular (ou seja, tem um formato de caixa).
24. Se cada seção transversal de for um disco ou uma arruela, então
é um sólido de revolução.
25. Se for dado em centímetros, então
deve ser uma função quadrática de
, pois as unidades de
serão centímetros quadrados.
26. O valor médio de no intervalo
é dado por
.
23. Se cada seção transversal de
24. Se cada seção transversal de
25. Se
26. O valor médio de
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo
.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
17.
18.
19.
20.
21.
22.