Para a função faça o seguinte:
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de quando ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função quando . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e retas tangentes. Precisamos calcular o valor da função em e a derivada dessa função nesse ponto para montar a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Isso significa substituir por 1 na função:
Sabemos que , então:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente. A derivada nos dá a taxa de variação de em relação a .
Vamos derivar :
Para derivar , usamos a regra da cadeia. A derivada de é multiplicada pela derivada de . Aqui, , cuja derivada é .
Então:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular , substituindo por 1 na derivada:
Sabemos que e , então:
A inclinação da reta tangente é 1.

Passo 5

Com o ponto e a inclinação , podemos usar a forma ponto-inclinação da reta para encontrar a equação da reta tangente:
Substituindo:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de quando é:

Exercícios relacionados

Para a função faça o seguinte:
Determine a equação da reta normal ao gráfico de quando ;
Para a função :
Calcule
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo .
7.
8.
9.
10. .
[Sugestão: Use a identidade .]
11.
12.
13.
14.
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa.
23. Se cada seção transversal de perpendicular ao eixo for um quadrado, então é um paralelepípedo retangular (ou seja, tem um formato de caixa).
24. Se cada seção transversal de for um disco ou uma arruela, então é um sólido de revolução.
25. Se for dado em centímetros, então deve ser uma função quadrática de , pois as unidades de serão centímetros quadrados.
26. O valor médio de no intervalo é dado por .