Para a função f(x) = x + cos(sen(pi x)) faça o seguinte:
1,0 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f quando x = 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função quando . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e retas tangentes. Precisamos calcular o valor da função em e a derivada dessa função nesse ponto para montar a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Isso significa substituir por 1 na função:
Sabemos que , então:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente. A derivada nos dá a taxa de variação de em relação a .
Vamos derivar :
Para derivar , usamos a regra da cadeia. A derivada de é multiplicada pela derivada de . Aqui, , cuja derivada é .
Então:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular , substituindo por 1 na derivada:
Sabemos que e , então:
A inclinação da reta tangente é 1.

Passo 5

Com o ponto e a inclinação , podemos usar a forma ponto-inclinação da reta para encontrar a equação da reta tangente:
Substituindo:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de quando é:

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