Para a função
faça o seguinte:
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
quando
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
quando
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e retas tangentes. Precisamos calcular o valor da função em
e a derivada dessa função nesse ponto para montar a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. Isso significa substituir
por 1 na função:
Sabemos que
, então:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
para determinar a inclinação da reta tangente. A derivada
nos dá a taxa de variação de
em relação a
.
Vamos derivar
:
Para derivar
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
multiplicada pela derivada de
. Aqui,
, cuja derivada é
.
Então:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, substituindo
por 1 na derivada:
Sabemos que
e
, então:
A inclinação da reta tangente é 1.
Passo 5
Com o ponto
e a inclinação
, podemos usar a forma ponto-inclinação da reta para encontrar a equação da reta tangente:
Substituindo:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
quando
é: