Determine se a afirmação é V ou F e justifique sua resposta:
Cada subconjunto de um espaço vetorial V que contenha o vetor zero de V é um subespaço de V.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está dizendo. Ela afirma que "Cada subconjunto de um espaço vetorial que contenha o vetor zero de é um subespaço de ". Aqui, o conteúdo da matéria envolve espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar saber quais são as condições para que um subconjunto seja realmente um subespaço.

Passo 2

Vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer operações de adição e multiplicação por escalar, e essas operações satisfazem certas propriedades (como associatividade, comutatividade, existência do vetor zero, etc.).

Passo 3

Agora, um subespaço de é um subconjunto de que também é um espaço vetorial sob as mesmas operações de . Para que seja um subespaço, ele precisa cumprir três condições:
  1. Contém o vetor zero: Já sabemos que contém o vetor zero.
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .

Passo 4

A afirmação diz que “qualquer subconjunto que contenha o vetor zero é um subespaço”. Mas, para ser um subespaço, além de conter o vetor zero, o subconjunto também precisa ser fechado sob adição e multiplicação por escalar, como acabamos de ver.

Passo 5

Vamos ver um exemplo para ilustrar. Considere o espaço vetorial e o subconjunto . Este subconjunto contém o vetor zero , é fechado sob adição e multiplicação por escalar, então é um subespaço.

Passo 6

Agora, pense em outro subconjunto . Este subconjunto também contém o vetor zero? Não, porque para , não é o vetor zero . Mas, mesmo se ajustarmos para incluir o vetor zero, seria um subespaço. Contudo, se escolhermos , que inclui o vetor zero, nem todas as combinações de vetores estão em .

Passo 7

Isso mostra que apenas conter o vetor zero não é suficiente para ser um subespaço. É necessário também que o conjunto seja fechado sob adição e multiplicação por escalar.

Resposta

Falso. Um subconjunto que contém o vetor zero não é necessariamente um subespaço, pois também precisa ser fechado sob adição e multiplicação por escalar.

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