Determine se a afirmação é
ou
e justifique sua resposta:
Cada subconjunto de um espaço vetorial
que contenha o vetor zero de
é um subespaço de
.
Cada subconjunto de um espaço vetorial
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está dizendo. Ela afirma que "Cada subconjunto de um espaço vetorial
que contenha o vetor zero de
é um subespaço de
". Aqui, o conteúdo da matéria envolve espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar saber quais são as condições para que um subconjunto seja realmente um subespaço.
Passo 2
Vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial
é um conjunto de vetores onde podemos fazer operações de adição e multiplicação por escalar, e essas operações satisfazem certas propriedades (como associatividade, comutatividade, existência do vetor zero, etc.).
Passo 3
Agora, um subespaço de
é um subconjunto
de
que também é um espaço vetorial sob as mesmas operações de
. Para que
seja um subespaço, ele precisa cumprir três condições:
- Contém o vetor zero: Já sabemos que
contém o vetor zero. - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em .
Passo 4
A afirmação diz que “qualquer subconjunto que contenha o vetor zero é um subespaço”. Mas, para ser um subespaço, além de conter o vetor zero, o subconjunto também precisa ser fechado sob adição e multiplicação por escalar, como acabamos de ver.
Passo 5
Vamos ver um exemplo para ilustrar. Considere o espaço vetorial
e o subconjunto
. Este subconjunto contém o vetor zero
, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, então é um subespaço.
Passo 6
Agora, pense em outro subconjunto
. Este subconjunto também contém o vetor zero? Não, porque para
,
não é o vetor zero
. Mas, mesmo se ajustarmos para incluir o vetor zero,
seria um subespaço. Contudo, se escolhermos
, que inclui o vetor zero, nem todas as combinações de vetores estão em
.
Passo 7
Isso mostra que apenas conter o vetor zero não é suficiente para ser um subespaço. É necessário também que o conjunto seja fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Resposta
Falso. Um subconjunto que contém o vetor zero não é necessariamente um subespaço, pois também precisa ser fechado sob adição e multiplicação por escalar.