Um segmento AB de 12 unidades de comprimento (u.c.), desloca-se de modo que A percorre o eixo Ox e B percorre o eixo Oy . O ponto
é interior ao segmento AB e fica situado a 8 u.c. de A . Estabeleça uma equação do lugar geométrico descrito pelo ponto
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um segmento AB com 12 unidades de comprimento. O ponto A está se movendo ao longo do eixo Ox (horizontal) e o ponto B está se movendo ao longo do eixo Oy (vertical). O ponto P está dentro do segmento AB, a 8 unidades de A. Nosso objetivo é encontrar a equação que descreve o lugar geométrico desse ponto P.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de geometria analítica, especificamente sobre coordenadas no plano cartesiano e a relação entre posições de pontos em segmentos.
Passo 2
Primeiro, vamos posicionar os pontos A e B no plano. Suponha que o ponto A esteja na posição (a, 0) no eixo Ox e o ponto B na posição (0, b) no eixo Oy.
Sabemos que o comprimento do segmento AB é 12 unidades. Podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar a e b:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto P. O ponto P está a 8 unidades de A e, portanto, a 4 unidades de B (já que AB = 12).
Isso significa que a razão em que P divide o segmento AB é de 8:4, ou simplificando, 2:1.
Para encontrar as coordenadas de P, usamos a fórmula da divisão interna:
Então, as coordenadas de P são
.
Passo 4
Agora, vamos relacionar essas coordenadas com a equação que obtivemos anteriormente.
Sabemos que
.
Substituindo
e
(pois
e
) na equação:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Dividindo todos os termos por 9 para simplificar:
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar a fração:
Finalmente, rearranjando para a forma padrão da equação da elipse: