Um segmento AB de 12 unidades de comprimento (u.c.), desloca-se de modo que A percorre o eixo Ox e B percorre o eixo Oy . O ponto P(x, y) é interior ao segmento AB e fica situado a 8 u.c. de A . Estabeleça uma equação do lugar geométrico descrito pelo ponto P.
x^216+y^264=1

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um segmento AB com 12 unidades de comprimento. O ponto A está se movendo ao longo do eixo Ox (horizontal) e o ponto B está se movendo ao longo do eixo Oy (vertical). O ponto P está dentro do segmento AB, a 8 unidades de A. Nosso objetivo é encontrar a equação que descreve o lugar geométrico desse ponto P.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de geometria analítica, especificamente sobre coordenadas no plano cartesiano e a relação entre posições de pontos em segmentos.

Passo 2

Primeiro, vamos posicionar os pontos A e B no plano. Suponha que o ponto A esteja na posição (a, 0) no eixo Ox e o ponto B na posição (0, b) no eixo Oy.
Sabemos que o comprimento do segmento AB é 12 unidades. Podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar a e b:
a^2 + b^2 = 12^2
a^2 + b^2 = 144

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto P. O ponto P está a 8 unidades de A e, portanto, a 4 unidades de B (já que AB = 12).
Isso significa que a razão em que P divide o segmento AB é de 8:4, ou simplificando, 2:1.
Para encontrar as coordenadas de P, usamos a fórmula da divisão interna:
x = (2 cdot 0) + (1 cdot a)2 + 1 = a3
y = (2 cdot b) + (1 cdot 0)2 + 1 = 2b3
Então, as coordenadas de P são .

Passo 4

Agora, vamos relacionar essas coordenadas com a equação que obtivemos anteriormente.
Sabemos que (3x)^2 + ( 3y2 )^2 = 144 .
Substituindo e (pois e ) na equação:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
9x^2 + 9y^24 = 144
Dividindo todos os termos por 9 para simplificar:
x^2 + y^24 = 16
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar a fração:
4x^2 + y^2 = 64
Finalmente, rearranjando para a forma padrão da equação da elipse:
x^216 + y^264 = 1

Resposta

x^216+y^264=1

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