Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta. A curvatura de toda reta no espaço é igual a zero em todos os seus pontos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se a afirmação “A curvatura de toda reta no espaço é igual a zero em todos os seus pontos” é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com o conteúdo de Geometria Diferencial, especificamente com o conceito de curvatura de uma reta no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é curvatura e como ela se aplica a uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é curvatura. Em geometria, a curvatura de uma curva em um ponto mede o quanto essa curva está mudando de direção naquele ponto. Matemáticamente, para uma curva suave no espaço, a curvatura pode ser calculada usando a derivada da unidade tangente em relação ao comprimento do arco:
Aqui, é o vetor tangente unitário à curva, e é o comprimento do arco.
Passo 3
Agora, vamos pensar em uma reta no espaço. Uma reta é, basicamente, a curva mais simples possível: ela não muda de direção em nenhum ponto. Isso significa que o vetor tangente permanece constante ao longo de toda a reta. Se derivarmos um vetor constante em relação a , o resultado é o vetor zero:
Portanto, a curvatura de uma reta é:
Resposta
A afirmação é verdadeira. A curvatura de toda reta no espaço é igual a zero em todos os seus pontos porque uma reta não muda de direção em nenhum ponto, resultando em curvatura nula.